内容发布更新时间 : 2025/1/6 18:13:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

结构位移计算中复杂图形图乘法技巧探析

摘要：以结构力学位移计算中复杂图形图乘法为背景，分析了图乘法的三个应用条件，总结了复杂图乘法的常用方法。以线荷载作用下悬臂梁中点竖向位移和变刚度悬臂梁端点竖向位移的两个计算实例，分析了构造标准抛物线图形的技巧，总结了图乘法分段图乘、加减相伴的图乘原则，对复杂图形图乘法的计算效率大大提高。

关键词：结构力学；位移计算；图乘法；技巧探析 1图乘法的基本公式

结构力学单位荷载法计算位移的一般公式中，由积分法计算梁或刚架杆件的结点或截面位移。若积分法满足如下三个条件：其一，杆件是直杆；其二，截面抗弯刚度EI为常数；其三，两个图形中至少有一个是直线图形时，可以采用图乘法求解结点或截面位移［1-2］。图乘法的应用简化了位移计算求解过程，减少了计算量。图乘法的发明是由当时为莫斯科铁路运输学院的学生Vereshchagin于1925年提出，该方法后以他的名字被命名为韦列夏金规则。位移积分法简化为图乘法的公式如式（1），具体推导过程参见文献［3-4］。

∫BAMiMkEIds=1EIωy0（1）

式中，Mi,Mk中至少有一个图形是直线的弯矩图，EI是截面抗弯刚度且为常数，A,B是杆件积分区间，ds是截面微段，ω是曲线弯

矩的面积（若两弯矩图均为直线，可任取），y0是曲线弯矩图的形心位置对应直线弯矩图的纵坐标。

2复杂图乘法分析

结构力学教材中给出一般图乘法总结如下：

式中括号内a,b,c,d同侧为正，异侧为负。特殊情况一个梯形为三角形，式（2）的a,b,c,d中一项为0，问题得以简化。

除文献4介绍的两种方法外，还可以采用延长1弯矩图形的方法。图2中Mp弯矩图分解为ω1和ω2，ω1沿整个l长度为标准二次抛物线，对应形心位置为y1；同样ω2沿右端l/2长度为标准二次抛物线，对应形心位置为y2；两者所得位移相减，即为ΔC的竖向位移，如式（3）。

Δc=ω1·y1－ω2·y2＝

1EI［13·12ql2·l·l4－(－13·18ql2·l2·l8)］=17ql4384EI(↓)（3）

实例二，求解图3（a）B点竖向位移，（沿杆件各段EI不同）

由于沿直杆EI不同，常用方法必须采用分段图乘。但由图3（b）图，AC段弯矩图为非标准二次抛物线，该图形的形心位置不易确定。

目前掌握的方法有两种：一种是分段叠加法，对AC段的Mp图分解为一个梯形图与一个标准二次抛物线图的相减；另一种是荷载分解形式，即CB段荷载传递至AC段的荷载分解为：一个竖向集中力ql/2，一个C端点的集中力偶ql2/8，则AC段的弯矩图即可分解为一个矩形图、一个三角形和一个标准抛物线图。除上述两种方法外，结合实例分析一方法，该题可采用图乘减法分析法进行端点位移求解。AC段的抗弯刚度kEI，与CB段的EI统称按kEI处理，相当于把CB段的EI提高了k倍，然后再加上CB段未提高刚度部分引起的结构位移，如式（4）。

Δc=ω1·y1+ω2·y2＝

1kEI(13·12ql2·l·3l4)+(1EI－1kEI)(13·18ql2·l2·3l8)（4） 当k=2时，Δc=17ql4256 k=12时，Δc=31ql4128

式（4）计算过程比上述两种方法简单，使复杂的图形计算效率提高且易理解。

4结语

结构位移计算的图乘法是求梁及刚架最常用的方法，也是超静定结构力法求解的基础。利用图乘法时必须掌握三个应用条件，同时应熟练运用图乘法技巧。本文采用了一种分段图乘，加减相伴的原则分