内容发布更新时间 : 2024/5/16 2:40:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

配套K12学习（小初高）

第一章 计数原理

一、教学目标：1、使学生掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用；2、通过问题形成过程和解决方法的分析，提高学生的分析问题和解决问题的能力；3、引导养成学生分析过程、深刻思考、灵活运用的习惯和态度。

二、教学重难点：掌握两个原理以及排列组合的概念、计算等内容，并能比较熟练地运用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、知识点：

1、分类加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 N?m1?m2??mn种不同的方法。

2、分步乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有

N?m1?m2??mn 种不同的方法。

3、排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 ．．．．．．．．．

4、排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从

mn个元素中取出m元素的排列数，用符号An表示。

m5、排列数公式：An?n(n?1)(n?2)(n?m?1)（m,n?N?,m?n）

6、阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1。

m7、排列数的另一个计算公式：An=

n! 。

(n?m)!8、组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

9、组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个

m不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示。 ．．．

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n!Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1)m10、组合数公式：C?m?或Cn?

m!(n?m)!Amm!mn(n,m?N?,且m?n)。

mn?m0mmm?111、组合数的性质1：Cn．规定：Cn ?Cn?1；组合数的性质2：Cn?1＝Cn+Cn（二）、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：1、特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。2、科学分类法：对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。3、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。4、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列。5、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法。

（三）、例题探析：例1、由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数。(1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数。

解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分

4为如下三步：第一步将１、３、５、７四个数字排好有P4种不同的排法；第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有P33种不同的“捆绑”方法；第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有P51种不同的“插入”方法。根据乘法原理共有P44?P33?P51＝720种不同的排法所以共有720个符合条件的七位数。

解（2）：因为三个偶数２、４、６ 互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有P4种不同的排法；第二步将２、

４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有P53种“插入”方法。根据乘法原理共有P44?P53＝1440种不同的排法所以共有1440个符合条件的七位数。

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例２、将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？

解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法。下面分别计算每一类的方法数：

11C6?C5第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，共有 ＝2P215种不同的分组方法。第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问

1 题，共有C6第三类（２－２－２）分法，这是一类整体?C52＝60种不同的分组方法。

2C62?C4“等分”的问题，因此共有＝15种不同的分组方法。

P33根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法。

3根据乘法原理共有P66?C5＝7200种不同的坐法。

（四）、课堂练习：1、兰州某车队有装有A，B，C，D，E，F六种货物的卡车各一辆，把这些货物运到西安，要求装A种货物， B种货物与E种货物的车，到达西安的顺序必须是A，B，E（可以不相邻，且先发的车先到），则这六辆车发车的顺序有几种不同的方案（ ）（A）80 （B）120 （C）240 （D）360

2、某池塘有A，B，C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2 人，C船可乘1 人，今天3个成人和2 个儿童分乘这些船只，为安全起见，儿童必须由成人陪同方能乘船，他们分乘这些船只的方法共有（ ） （A）120种 （B）81种 （C）72种 （D）27种 3、梯形的两条对角线把梯形分成四部分，有五种不同的颜色给这四部分涂色，每一部分涂一种颜色，任何相邻（具有公共边）的两部分涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）（A）180种 （B）240种 （C）260种 （D）320种 4、将5枚相同的纪念邮票和8张相同的明信片作为礼品送给甲、乙两名学生，全部分完且每人至少有一件礼品，不同的分法是（ ）（A）52 （B）40 （C）38 （D）

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m（五）、小结 ：⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有Pm种“捆绑”方法。⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 Pnm种不同的“插入”方配套K12学习（小初高）