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第五章 矩阵的特征值与特征向量

5.1矩阵的特征值与特征向量

5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念

设A是n阶矩阵，若存在数?及非零的n维列向量?，使得：A????(??0)成立，则称?是矩阵A的特征值，称非零向量?是矩阵A属于特征值?的特征向量.

5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法

把定义公式A????改写为??E?A???0,即?是齐次方程组??E?A?x?0的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：?E?A?0.

所以可以通过?E?A?0求出所有特征值，然后对每一个特征值?，分别求出齐

i次方程组??iE?A?x?0的一个基础解系，进而再求得通解.

?3?2?4???【例5.1】求A???26?2?的特征值和特征向量.

???4?23????3解：根据?E?A?24242????7????2??0，?2??2. 可得?1?7，

2??62??3?424??212?????当??7时，7E?A??212???000?，所以?7E?A?x?0的一个基础解系

??424????000???1???1,2,0?,?2???1,0,1?，为：则相应的特征向量为k1?1?k2?2，其中k1,k2是

TT任意常数且?k1,k2???0,0?.

4??1?41???52????当???2时，?2E?A??2?82???02?1?，所以??2E?A?x?0的

?2?5?0??4???00?T一个基础解系为?3??2,1,2?，则相应的特征向量为k3?3，其中k3是任意常数且

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k3?0.

5.1.3矩阵的特征值与特征向量的性质

(1)特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的积等于A； (2)n阶矩阵A和AT有相同的特征值；

(3)若?是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，?k是Ak的特征值；

(4)属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当?是矩阵A的k重特征值

i时，矩阵A属于?的线性无关的特征向量的个数不超过k个.

i5.2相似矩阵

5.2.1相似矩阵的概念

设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P,使P?1AP?B,则称矩阵A和B相似，记为A~B.

5.2.2相似矩阵的性质 若A~B,则：

(1)A，B有相同的特征值；

证：由于A与B相似，所以必有可逆矩阵，使P?1AP?B，

?1?1?1?1那么?E?B??PEP?PAP?P??E?A?P?P?E?AP??E?A.

所以A，B有相同的特征值. (2)A?B； (3)A?B；

(4)相似矩阵都可逆或都不可逆，当它们可逆时，它的逆矩阵一定相似； (5)AT~BT；

(6)当B~C时，A~C. 5.3矩阵的相似对角化

5.3.1矩阵可相似对角化的概念

如果n阶矩阵A与对角矩阵?相似，则称A可以相似对角化，记为A~?，并称

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?是A的相似标准型.

5.3.2矩阵可相似对角化的性质

(1)n阶矩阵A可相似对角化的充要条件为： ①矩阵A有n个线性无关的特征向量；

②每个ki(ki?1)重特征值?i对应ki个线性无关的特征向量.；

??1??1(2)设可逆矩阵P???1,?2,?,?n?，且PAP?????矩阵A属于特征值?i的特征向量. 5.3.3实对称矩阵的特征 (1)实对称矩阵必可对角化；

(2)特征值全是实数，特征向量都是实数； (3)不同特征值的特征向量互相正交；

?2????，则列向量?i是???n?证：设?1，?2是对称矩阵A的两个特征值，P1，P2是对应的特征向量,则：

?1P1?Ap1，?2P2?Ap2，?1??2. 因为A对称，即A?AT，

所以?1P1???1P1???AP1??P1AT?P1A,同理?2P2?P2A，

TTTTTTT于是?1P1P2?P1AP2?P1??2P2???2P1P2，

TTTT所以??1??2?P1P2?0,

TT又因为?1??2,所以P1P2?0，则P1和P2正交.

?1?22??4?【例5.2】设矩阵A???2a?的特征值有重根，试求正交矩阵Q,使?4?2??2?QTAQ为对角形.

2解：?E?A????2????3?a????3a?20??0，

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