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浙江省2013届高三数学一轮复习单元训练：平面向量
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a?(1,2),b?(?3,2),ka?b与a?3b垂直时k值为 ( )
A．17 【答案】C
B．18
C．19
D．20
2．如图，将45?的直角三角板ADC和30?的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中45?的直角三角板的斜边AC与30?的直角三角板的30?所对的直角边重合，若
DB?xDA?yDC，则x，y分别等于（ ）
A．3C．2【答案】B
,1 ,3 B．3,3?1 3
D．3?1,uuuruuuruuur3．已知平面上三点A、B、C满足AB?3，BC?4，CA?5，则
uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于 ( )
A．25 B．24 C．－25 【答案】C
D．－24
uuuruuuruuuruuuruuur4．O是?ABC所在平面内的一点，且满足(OB?OC)?(OB?OC?2OA)?0，则?ABC的
形状一定为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 【答案】C
C．等腰三角形
D．斜三角形
5．已知a,b是非零向量，且满足(a?2b)?a,(b?2a)?b,则a与b的夹角是（ ）
A.?6 B.?3 C.
5?2? D. 36( ）
【答案】B
rrrrrr6．设平面向量a=（1，2），b= (-2，y），若a //b，则|3a十b|等于
A．5 B．6
C．17 D．26
【答案】A
7． 下列命中，正确的是（ ）
rrrrA．|a|＝|b|?a＝b rrrrC．a＝b?a∥b
rrrrB．|a|＞|b|?a＞b rrD．｜a｜＝0?a＝0
【答案】C
0
8．平面向量a与b的夹角为60，a=（2，0），|b|=1 则|a＋2b|=（ ）
A．3 【答案】B
9．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为（ ）
A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B
?????????B． 23
C．4 D．12
rrrr10． 已知a?(2,?1)，b?(x,2)，若a∥b，则x的值是( )
B．－1
C．4
A．1 【答案】D
D．－4
rrrrrr2?11．平面向量a与b夹角为， a?(3,0),|b|?2，则|a?2b|?（ ）
3A．7 【答案】C
B．37
C．13 D．3
uuuruuur12．已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP＝xAB＋
uuur12
yAD，则0≤x≤，0≤y≤的概率是( )
2
3
1A． 31C． 4
【答案】A
2B． 31
D．
2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
uuuruuur1513．已知△ABC中，AB =a,AC =b,a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则
4∠BAC=______. 【答案】150°
rr14．设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单
????位向量，且OA??2i?j，OB?4i?3j，则?OAB的面积等于 .
【答案】5
15．设a、b是非零向量，给出平面向量的四个命题： ①|a·b|＝|a||b|；
②若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；
22
③存在实数m、n使得ma＋nb＝0，则m＋n＝0；
④若|a＋b|＝|a|－|b|，则|a|≥|b|且a与b方向相反．其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上) 【答案】②④
16．已知向量a＝(1,3)，b＝(3，n)，若2a－b与b共线，则实数n的值是________． 【答案】9
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【答案】 (1)方法一：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则 由E为BC的中点，得E(0,1)；
又E(0,1)为AD的中点，所以D(1,4)． ∴两条对角线长分别为
BC=(-2-2)2+(-1-3)2=42， AD=(1+1)2+(4+2)2=210．
方法二：由题设知=(3,5)，=(-1,1)，则+=(2,6)，-=(4,4)． 所以|+|=210，|-|=42．
故所求的两条对角线长分别为42，210．
(2)方法一：由题设知=(-2，-1)，-t=(3+2t,5+t)，
11
由(-t)=0，得(3+2t,5+t)(-2，-1)=0，从而5t=-11，所以t=-．
5
2
方法二：由题意知：=t，而=(3,5)，
3′(-2)+5′(-1)11∴t==． 22=-(-2)+(-1)5
rr?18．设a?(cos?,(??1)sin?),b?(cos?,sin?),(??0,0?????)是平面上的两个
2rrrr向量，若向量a?b与a?b互相垂直.
(Ⅰ）求实数?的值；
rr44(Ⅱ）若a?b?，且tan??，求tan?的值.
53r2r2rrrr【答案】（Ⅰ）由题设可得(a?b)?(a?b)?0, 即a?b?0, rr22222代入a,b坐标可得cos?+(??1)sin??cos??sin??0.
?(??1)2sin2??sin2??0,Q0????2,??0,???2. (Ⅱ）由（1）知，
rr4a?b?cos?cos??sin?sin??cos(???)?,
5Q0?????33?????0?sin(???)??,tan(???)??.
225434??tan(???)?tan?43?7. ?tan??7 ?tan??tan[(???)??]?=241?tan(???)?tan?1?(?3)?42443? ?19．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹
角是锐角的λ的取值范围．
【答案】由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，
??
得a·b＝|a||b|cos45°＝2?1?2
2＝1． 22
2
2
而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa－6a·b＋λa·b－3λb＝λ＋λ－6． 设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ， 则cosθ＝
(2a??b)g(?a?3b)>0,
|2a??b||?a?3b|且cosθ≠1，∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，
2
∴λ＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3． 假设2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)， ∴??2＝k?，22
解得k＝－．故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在所以当
3??＝－3k，2λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角． 20．已知?ABC内接于圆O：x2+y=1（O为坐标原点），
uuuruuuruuurr且3OA+4OB+5OC=0。 (I）求?AOC的面积；
(Ⅱ）若?xOA???4，设以射线Ox为始边，射线OC为终边所形成的角为?，
判断?的取值范围。
(Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求C点的坐标。
uuuruuuruuuruuuruuuruuur【答案】（1）由3OA+4OB+5OC= 0得3OA+5OC= ?4OB，
uuuruuuruuuruuur33平方化简，得OC·OA=?，所以cos?OA,OC?=?，
uuuruuuruuuruuur4而?OA,OC??[0,?]所以sin?OA,OC?=。
5ruuuruuuruuur21uuu?AOC的面积是S?AOC=OAOCsin?OA,OC?=。
25uuuruuuruuuruuur3(2）由（1）可知cos?OA,OC?=??0，得?OA,OC?为钝角，
5uuuruuuruuuruuur?? 又??OA,OC?????2k?或?OA,OC?=???2k?，k?Z
445313 所以???2k???????2k?或??2k??????2k?，k?Z
4444uuur(3）由题意，C点的坐标为(cos?,sin?)，进而OC?(cos?,sin?)， uuuruuuruuur2222?又OA?(,?)，可得OA?OC?cos??sin???sin(??)
2222455uuuruuur?33OA?OC??，于是有sin(??)?
455