内容发布更新时间 : 2024/5/11 5:46:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A卷） 课程名称 数值计算 专业年级 全校2012级 备注: 半开卷（可带一页手写A4纸，左上角写姓名，不得带复印件）, 不得在试题纸上答题 一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将22355和作为??3.141592653589791137的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少？ 0132.已知f?x??x8?x5?32，求f??,3,01?,38?f3，??,3,,39??. 3.确定求积公式?10f(x)dx?A0f(0)?A1f(1)?A2f?(0)中的待定系数，使其 代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。 ?10?1??的谱半径。 0104.求矩阵A???????202???10099?5. 设A???,计算A的条件数cond?A?p,?P?2,??. ?9998?二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分） 11.求满足条件H(0)?1,H?(0)?,H(1)?2,H?(1)?2.的插值多项式 H3(x). 22.已知f??1??2,f?1??1,f?2??1，求f?x?的Lagrange插值多项式。 3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合 xi yi 0 1 1 2 2 4 3 5 ?20x1?2x2?3x3?24T??0?4.用Jacobi迭代法求解方程组?x1?8x2?x3?12，取初值x??0,0,0?， ?2x?3x?15x?3023?1计算迭代二次的(x,y,z)值；（2分） 问Jacobi迭代法是否收敛？为什么？（2分） 若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于10?6？ ln(3?106)?13.57）（提示：（5分） ln3问Gauss-Seidel迭代法是否收敛？为什么？（1分） 2??y???x?y5.用欧拉法求解初值问题?在?0,1.5?上的数值解，取h?0.5， y0?2????计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分） 三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分） 1.设Ax?b，其中A?Rn?n为非奇异矩阵，证明cond?ATA????cond?A?2?? 222.证明向量X 的范数满足不等式X四.证明（10分） ??X2?nx? 1?a?0，写出牛顿迭代格式； x对于给定的正数a,应用牛顿法于方程f(x)?证明当初值满足0?x0? 2时，该迭代法收敛。 a武汉理工大学研究生课程考试标准答案

用纸

课程名称：数值计算（A） 任课教师 ：

一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将22355和作为??3.141592653589791137的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少？

3分）

2分）

0132.已知f?x??x8?x5?32，求f??,3,01?,38?f3，??,3,,39??.

(5分）

3.确定求积公式

?10f(x)dx?A0f(0)?A1f(1)?A2f?(0)中的待定系数，使其代数

精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令f(x)?1,x,xm,使积分公式对尽可能

大的正整数m准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即m?2。 由f(x)?1数值积分准确成立得：A0?A1?1 由f(x)?x数值积分准确成立得：A1?A2?1/2 由f(x)?x2数值积分准确成立得：A1?1/3

解得A1?1/3,A2?1/6,A0?2/3. (3分）

此时，取f(x)?x3积分准确值为1/4,而数值积分为A1?1/3?1/4,所以该求积公式的最高代数精度为2次。 (2分）

?10?1??的谱半径。 0104.求矩阵A???????202????1 解 ?I?A?010???????1????2 ?302??10矩阵A的特征值为?1?0,?2?1,?3?3 所以谱半径??A??max?0,1,3??3 (5分）

?10099?5. 设A???,计算A的条件数cond?A?p,?P?2,??.

?9998??98?99?A*?-9899??1解：A??????A??

?9910099-100A????* 矩阵A的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则

cond(A)2?A2?A?1con(d)A??

2?198.00505035/0.00505035?39206(2分）

390 1 6 (3分）

A???1A?199?199??二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分） 11. 求作满足条件H(0)?1,H?(0)?,H(1)?2,H?(1)?2.的插值多项式 H3(x).

2解：根据三次Hermite插值多项式： H3(x)?(1?2x?x0x?x12x?x1x?x02)()y0?(1?2)()y1x0?x1x0?x1x1?x0x1?x0x?x02x?x12??(x?x1)(??(x?x0)()y0)y1x0?x1x1?x0(5分）

1并依条件H(0)?1,H?(0)?,H(1)?2,H?(1)?2.，得

21H3(x)?(1?2x)(x?1)2?2(3?2x)x2?x(x?1)2?2(x?1)x22 (5分）

131?x?x?1222.已知f??1??2,f?1??1,f?2??1，求f?x?的Lagrange插值多项式。