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2012-2013学年第一学期《概率论与数理统计》期终考试试卷(A卷)--1

同济大学课程考核试卷(A卷)

2012—2013学年第一学期

命题教师签名：钱伟民 审核教师签名：蒋凤瑛 课号：122011 课名：概率论与数理统计 考试考查：考查 此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷

年级 专业 学号 姓名 任课教师

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 (注意：本试卷共8大题，3大张，满分100分．考试时间为120分钟.除填空题外要求写出解题过程，否则不

予计分) 备用数据：t26.815,?20.95(3)?2.3534,?0.95(3)?0.05(3)?0.352

?(1)?0.8413 ，?(3.2)?0.9993,?(0.8)?0.7881.

一、填空题(18分) 1、(4分)已知P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A|B)?0.6，则P(AB)= ，

P(AA?B)= .

2、(4分)设随机变量?服从二项分布B(4,p)，0?p?1，已知P(??1)?P(??3)，则

p? ，P(??2)= . 3、(6分)设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量Y服从二项分布B(2,0.5)，且

cov(X,Y)?0.5，则E(X?3Y)? ，D(X?3Y)? ，利用切比雪夫不等式可得P?X?3Y?2?2?? .

4、(4分)设X1,X2?,X6相互独立且服从相同的分布，且X1服从正态分布N(0,9)，记

T?a?X221?X2??b?X23?X4?X5??cX6，其中a,b,c为常数，且abc?0，当

a? ,b? ,c? 时，T服从自由度为 的?2分布.

二、(12分)甲、乙两人各自独立作同种试验，已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6，0.8. (1) 求两人中只有一人试验成功的概率；

(2) 在已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下，求甲成功但乙未成功的概率．

三、(12分)设随机变量?~N(1,4),?~N(0,9),且?与?的相关系数?1????2. 记Z??2??3.求(1)E(Z)，D(Z)；(2)Cov(?,Z).

2012-2013学年第一学期《概率论与数理统计》期终考试试卷(A卷)--2

四、(12分)假设二维随机变量(X,Y)服从矩形 G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上的均匀

五、(12分)设随机变量?1与?2相互独立, 它们均服从标准正态分布.记

分布. 记U???0若X?2Y?0若X?Y, V??,

?1若X?2Y?1若X?Y22?1??1??2,?2??1??2.可以证明：(?1，?2)服从二维正态分布.

(1) 分别求?1和?2的密度函数； (2) 求(?1,?2)的联合密度函数； (3) 求概率P?2??1?

(1)求(U,V)的联合概率函数； (2)求概率P(U?V?1).

?2,?2??2?2.

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六、(10分)某生产线上组装一件产品的所需时间X服从指数分布，E(X)?10(单位：分钟)，假设组装各件产品所需时间相互独立.用中心极限定理求组装100件产品所需时间在18小时至22小时之间的概率的近似值.

七、(10分)设某种新型塑料的抗压力X服从正态分布N(?,?)，现对4个试验件做压力试验，得到试验数据(单位：10MPa)，并由此算出平0.90的双侧置信区间.

2八、(14分)设X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本，X服从区间[8,8??]上的均匀分布，其中??0. ?未知.

(1)求?的极大似然估计??；(2)求?的极大似然估计??的密度函数；

(3)问：?的极大似然估计??是否为?的无偏估计？如果是的话，给出证明；如果不是的话，将其修正为?的一个无偏估计.

?xi?14i?32,?xi2?268，分别求?和?的置信水

i?14