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统计学学习指导与习题

??y?na?b?t?2ty?at?bt??? ?

解方程组同样能得：

?n?ty??t?yb??n?t2?(?t)2??a?y?bt ? (9)

直线趋势方程

yt?a?bt中，t是时间序数，往往间隔相等且连续。为了简化计算过程，

直线趋势方程还可以采用简捷法的计算形式，求解参数。 简捷法求解直线趋势方程，前提是设入式(9)，其结果就简化为：

?t?0，这要用坐标移位的方法。将?t?0代

?ty??b??t2??y??a??n (10) ?

用式(10)求解a和b两个参数肯定会方便不少，但这里有两个假设要注意：其一，

?t?0；其二，t的间隔相等。具体操作中t的设定为，当时间数列为奇数项时，取中间一

项(原点)为0，原点以前的时期分别设为-1，-2，-3，? ，原点之后各期设为1，2，3，?；当时间数列为偶数项时，原点就在中间两项的中点，此时可取中间两项分别为-1，1，往上、往下方向分别依次为-1，-3，-5，?和1，3，5，?等等。

简捷法的计算形式为大家在趋势预测中简化了计算过程，但实际应用中也经常会出错，其原因：首先，可能是t的设定条件没有满足。其次，用简捷法计算出的趋势方程与用标准方程组计算出的方程往往是不一致的，在t的新设定条件下，参数肯定发生了变化，不要为此产生混淆，但预测出的结果应该是一样的。最后，要提醒注意的是，用简捷法得到的趋势方程用来预测结果时，一定要用t的新设定序号代入方程，否则也会得出错误结果。 3、最小平方法的实际应用分析

[例1]有10个同类企业的生产性固定资产年平均价值和工业总产值资料如下： 要求：⑴说明两变量之间的相关方向及程度；⑵编制直线回归方程

⑶计算估计标准误；⑷估计生产性固定资产(自变量) 为1100万元时总产值(因变量) 的可

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能值。 企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 生产性固定资产价值(万元) 318 910 200 409 415 502 314 1210 1022 1225 6525 工业总产值(万元) 524 1019 638 815 913 928 605 1516 1219 1624 9801 解题分析：本题是典型的相关与回归分析计算题，首先要判断两变量之间是否相关，并计算相关系数。相关系数的计算可采用多种途径，下面介绍常用三种手法。其一，传统的列表手工计算，把相关的资料在表格的合计栏得出。其二，利用计算器的功能计算，最好计算器有统计功能。其三，利用计算机中的统计软件来计算，目前统计软件也有多种多样，最普通或方便的是Excel。计算本题时，在Excel的界面中输入x和y各项数据，按列排列，然后打开工具菜单，点击“数据分析”，再点击“相关系数”和“回归”功能，很方便地获得计算结果。当然，利用计算机计算容易受条件所限。

解题过程：计算得Σx=5668539 ∑y=10866577 ∑xy=7659156 ∑x＝6525

∑y=9801 n=10

⑴计算协方差，σxy=1264003.5 计算的协方差为正数，说明正相关关系。 利用相关系数的公式计算r。

2

2

r?

n?xy??x?yn?x2?(?x)2n?y2?(?y)2=0.947757，属于高度相关。

⑵设直线回归方程：yc =a+bx 先求解a、b两个参数，利用上面式(4)计算

?n?xy??x?y?b??n?x2?(?x)2??y?b?x?a??nn ?

b＝0.8958 a＝395.59 yc=395.59+0.8958x 这里不能把a和b的位置弄错。其中b是回归系数。

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S?y2?a?y?b?xy⑶

y.x?n?2

=126.65(万元)

⑷yc=395.59+0.8958×1100＝1380.97(万元) [例2]下面是10家商店销售额和利润率的资料： 商店编号 每人月平均销售额(千元) x 利润率(%) y 1 6 12.6 2 5 10.4 3 8 18.5 4 1 3.0 5 4 8.1 6 7 16.3 7 6 12.3 8 3 6.2 9 3 6.6 10 7 16.8 要求：⑴计算每人月平均销售额与利润率的相关系数。

⑵求利润率依每人月平均销售额的回归方程。 ⑶估计每人月平均销售额为2000元时的利润率。 解题过程：计算列表如下：

人均销售额x 利润率(%)y X2 Y2 xy 6 12.6. 36. 158.76. 75.6. 50 110.8 294 1465.00 654.9 ∑X ∑y ∑X2 ∑Y2 ∑XY ⑴利用公式计算

r?n?xy??x?y

n?x2?(?x)2?n?y2?(?y)2

r=0.987高度的正相关关系。 ⑵设回归方程yc=a+bx

利用公式求得 b=2.293 a=－0.386 yc=－0.386+2.293x ⑶当x=2(千元) 时，yc=－0.386+2.293×2＝4.2%

当每人月平均销售额为2(千元) 时，估计利润率为4.2% [例3]某企业最近七年来的产值(万元) 资料如下：

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年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 第7年 产值 320 332 345 358 370 385 400 要求：⑴用最小平方法中的“简捷法” 拟合直线趋势方程。

⑵根据所求得的直线趋势方程预测第8年该企业的产值。

⑶所得到的两个参数值分别相当于时间序列水平指标中的哪两个指标？

解题分析：本题要求用最小平方法中的“简捷法” 拟合直线趋势方程，现有7项数据，属于奇数项，则t的设定从上到下分别为-3，-2，-1，0，1，2，3。且∑t=0。然后利用公式(10)计算。分别求出参数a和 b,得到直线趋势方程yt?a?bt。

解题过程：

⑴∑t=0 ∑t2 =28 ∑ty=371 ∑y=2510 n=7

?ty??b??t2???y?a??n ?a=358.57 b=13.25 yt=358.57+13.25t

⑵根据t的设定从上到下分别为-3，-2，-1，0，1，2，3。第8年列在第7年之后，第8年的t值应该取4，而不是取8。所以y8?358.57+13.25t=358.57+13.25×4=411.57(万元)

据预测第8年该企业的产值为411.57(万元)。

⑶a相当于“序时平均数”(平均发展水平) b相当于“平均增长量” [例4]某地区10年的粮食总产量如下表所示：

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年份 产量(万吨) 年份 产量(万吨) 1 230 6 257 2 236 7 262 3 241 8 276 4 246 9 281

5 252 10 286 要求：⑴试检查该地区的粮食生产发展趋势是否接近于直线型的？

⑵如果是直线型，请用最小平方法配合直线趋势方程； ⑶预测第12年的粮食生产水平。 解：⑴列表如下： 年份t 产量y 逐期增长量

1 230 — 2 236 6 3 241 5 4 246 5 5 252 6 6 257 5 7 262 5 8 276 14 9 281 5 10 286 5

从逐期增长量中看出，各期增长量大体相同，所以变化趋势是直线型的。⑵设直线趋势方程为： yt?a?bt。

n?ty??t?y22b=

n?t?(?t)=6.34 a=y?bt?221.81

yt?221.81?6.34t

⑶当t=12时，yt=221.81+6.34×12=297.89(万吨) 该地区第十二年的粮食总产量为297.89(万吨)

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