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第4讲

同余定理

编写说明

同余定理是奥数考试中最常考的题型，同时也是数论知识中最具有代表性的知识之一。本讲将带领大家一起领略巧妙的数论方法，相信大家一定会被同余的意想不到的魅力所吸引。

知识要点

若a?c余数为m，b?c余数为n，

则(a?b)?c的余数等于(m?n)?c的余数；(a?b)?c的余数等于(m?n)?c的余数（m?n）或(m?c?n)?c的余数（m?n）。a?b?c的余数等于m?n?c的余数。

特别的，当m?n时，(a?b)是c的倍数。 若两个整数a、b被同一个非零自然数c除，余数相同，那么称a、b对于m同余，用式子表示为a?b(modc).

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【例1】 有三个自然数a，b，c，其中a除以c的余数是1，b除以c的余数是2，a?b恰好是c的倍数，

求c的值。 【分析】 根据同余定理，a?b除以c的余数是3，而a?b恰好是c的倍数，所以c?3。

【拓展】 已知：a?b?6c，其中a、b、c均为正整数，且b除以6的余数是3，则a除以6的余数是多少? 【分析】 a?b是6的倍数，所以a和b除以6的余数相同，a除以6的余数是3。 【温馨提醒】这边可以帮助学生总结出和（或差）的余数等于余数的和（或差）的余数。

【例2】 1?3?5??2007?2009的乘积除以8的余数是多少？

【分析】 1，3，5，7，9，…，2007，2009除以8的余数分别为1，3，5，7，1，3，5，7，…，1，

3，5，7，1，1?3?5?7除以8的余数是1，所以1?3?5??2007?2009除以8的余数是1。

【温馨提示】这边可以帮助学生总结出积的余数等于余数的积的余数。

【拓展】 7?72?73?74??71990的末两位是多少？

【分析】 要求末两位，可以转化为求其除以100的余数是多少，72除以100余数是49，7除以100余数是7，

73?343除以100余数为43，74?2401除以100余数是1，75?74?7除以100的余数是7，依此

类推，余数是以7，49，43，1循环的，1990?4?(7?49?43?1)?49?7?74?9497，2所以所有余数的和是

4，9749756除以100的余数是56，所以和的末两位是56。

【例3】 求：14389除以7的余数。

【分析】 143?7的余数是3，14389?389 ，32?9除以7的余数是2，所以389?(??)?????244?3(mod7)，

23?8?1(mod7)，所以244?3?(23)14?22?3?22?3(mod7)，22?3?12除以7的余数是5，所以

14389除以7的余数是5.

【拓展】 求：7373?109109?32873287除以8的余数。 【分析】 73?8的余数是1，所以7373?1(mod8)，

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109109?5(mod8)?25?5(mod8)?1?5(mod8)，

109545432873287?73287(mod8)?491643?7(mod8)?11643?7(mod8)，

所以7373?109109?32873287?????mod??，7373?109109?32873287除以8的余数是3。

【例4】 (第七届中环杯六年级初赛第十三题)下面第一行已经填好1-10十个数,请在他们的下面一行也分

别填上1-10,使得每一竖列的两个数相乘的积除以11所得的余数都是3. 3 5 6 7 8 9 10 1 2 4 【分析】 我们知道,3除以11的余数是3,所以除以11余3的数可以是3,14,25,36,47等等,对照此题,1下面的

框肯定填3,同时确定3下面的框,根据乘积可能取的值,我们填出该表格如下:

1 3 2 7 3 4 9 5 6 7 8 9 10 1 5 6 2 10 4 8 【例5】 一个大于1的数去除300，245，210时，得余数为a，a?2，a?5，则这个自然数是多少？ 【分析】 后两个余数比前一个余数分别多2和5，所以此数若去除300，243，205时余数相同，

300?243?57?19?3，243?205?38?19?2，所以这个自然数是19.

【拓展】 （第六届小机灵杯五年级初赛）由多于30人而少于50人的学生围成一个圆圈，从某人开始报数.

如果报“35”和“215”的是同一个人时，那么围成的这个圆圈一共有多少人？

【分析】 由题可知，所有的报数，是以所有学生的个数为周期的一列数.那么215与35之间相差的是周期

的倍数.215?35?180（人），在30～50中能整除180的只有36和45，所以围成的这个圆圈一共有36或45人.

【例6】 号码分别为101，126，173，193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们

号码的和被3除所得的余数，那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？ 【分析】 101，126，173，193除以3的余数依次为2，0，2，1，

则101好球员与另三人分别进行了2，1，0盘比赛，共3盘；

126号运动员与另三人分别进行了2，2，1盘比赛，共5盘； 173号运动员与另三人分别进行了1，2，0盘比赛，共3盘； 193号运动员与另三人分别进行了0，1，0盘比赛，共1盘，

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所以打球盘数最多的运动员打了5盘。

【拓展】 有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，3个余数的和是25，求这个数最大是多

少？

【分析】 根据同余定理，63?90?130?25?258是该数的倍数，258?2?3?43，若该数是43，则余数分

别为20，4，1，符合条件，所以此数最大是43.

【练习1】 求9814?1118除以8的余数。

【分析】 9814?1814(mod8)，1118?318(mod8)，318?99?19(mod8)，所以9814?1118除以8的余数是1.

【练习2】 一个数去除551，745，1133，1327这四个数，余数都相同，该数最大可能是多少？ 【分析】 745?551?194，1133?745?388，1327?1133?194，388?194?2，所以该数最大可能是194.

【练习3】 a，b，c均为非零自然数，已知：a?b是7的倍数，b?c除以7的余数是1，则a?c除以7的

余数是多少？ 【分析】 a?c?(a?b)?(b?c)，所以a?c除以7的余数是7?1?6

【练习4】 有一列数:1,3,9,25,69,189,517,???其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个起,每个数

恰好是前面两个数之和的2倍再加上1,那么这列数中的第2008个数除以6,得到的余数是多少？ 【分析】 题目必然是一个周期问题,不过我们不能直接求第2008个数是多少,而是在这列数字除以6的余

数所组成的数列的中寻找规律.根据余数的性质写出这列数除以6以后的余数数列为

1,3,3,1,3,3,1,3,3??????是以3为周期的,因为2008?3?669??????1,所以这列数的第2008个数除以

6的余数是1.

【练习5】 甲、乙、丙、丁4个旅行团分别有游客69人、85人、93人、97人。现在要把这4个旅行团分

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