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学而思2012年暑假四升五素质123班难题汇总
第一讲 分数基本计算
分数的性质：分子分母同乘同除一个非零整数，分数的值不变。 倒数的应用：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
111裂项的理解：=-，=(-)。
n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k1111
11、【例6】计算：
1?2?4?2?4?8?3?6?12?...?10?20?401?3?6?2?6?12?3?9?18?...?10?30?60
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】本题考察孩子们能否把“1×2×4”和“1×3×6”看成一个整体，而其他各个加数均是这个整体的整数倍。 令1×2×4＝A、1×3×6＝B，则： 原式＝
A?2A?3A?...?10AB?2B?3B?...?10B＝
A(1?2?3?...?10)B(1?2?3?...?10)＝
AB＝
1?2?44＝
1?3?694【答案】
9
12、【例7】计算：
18181911112222333(+++?+)+(+++?+)+(++?+)+?+(+)+
19202023420345204520【难度级别】★★★★☆
【解题思路】分组是本题的关键，将分母相同的分在一组。
先找规律，从分母是20的看，分子是1、2、3、?、19，共19项；进而清楚了，分母是19的有18项（分子依次是1、2、3、?、18），??，分母
是3的有2项（分子依次是1、2），分母是2的有1项（分子是1）。
1212312319原式＝+(+)+(++)+?+(+++?+)
233444202020201对于n，分子是1+2+3+?+(n-1)的和，
123n-111n(n-1)(n-1)(+++?+)=(1+2+3+?+n-1)=×=
2nnnnnn219120?191123所以，原式＝+++?+＝×＝×190＝95
2222222【答案】95。
5919?3?5.221993?0.41.61013、【学案2】计算：9÷(+)
5271995?0.5199519?6?5.22950【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】除号右面的好计算，除号左面的需要整体观察和估计，除号左面这样的分数计算不会是硬算的，一定有技巧的，注意观察，找关键点。
1993?0.41995?0.519951995?519951995?51995?54?(1993?2)4?19954===
1995?51995?55+
1.6=
1993?4+
1.6=
1993?4+
8=
1993?4?81995?5
除号左面，分子分母中都有19，后边的2个加减式子的结果会不会相等呢？
9如果相等，分子分母就一样了，这样，除号左面的结果就是1，试一试：
519?3?5.2219?3.9?5.2219?1.3219?1.3291099===9=1 5275555419?6?5.2219?6?5.2219?6.54?5.2219?1.3295099910059555455原式＝1÷＝1×＝
445【答案】
4
56?4014?9?4016?14、【学案3】计算：
12
143?4014?3?6024?【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】需要整体观察和估计，这样的分数计算不会是硬算的，一定有技巧的，注意观察，找关键点。
观察分子分母中大数相同的项，第1项：分子有6×4014、分母有3×4014，是2倍关系；第3项：分子、分母，是2倍关系，孩子对分数刚接触，对
24111是的2倍还不是很熟悉；那么就考虑中间的第2项如果也是2倍，整个分
241子就是整个分母的2倍了，那就好解决了，试一试：
3×6024＝3×3×2008＝9×2008，9×4016＝9×2×2008＝2×(9×2008)，第2项的分子恰好也是分母的2倍。
11分母=3×4014+9×2008+,分子=2×(3×4014+9×2008+)，原式=2。
44【答案】2。
15、【学案4】分母为1996的所有最简真分数之和是_______。 【难度级别】★★★★☆
【解题思路】此题难道较高。熟悉思考有哪些最简真分数。
分母为1996，是偶数，根据最简分数定义，分子不能是偶数只能是奇数（分子是偶数，分子分母就可以同时除以2了），但是是不是从1到1995的所有奇数都满足呢？这是本题的关键。
将1996分解成质因数乘积的形式，1996＝2×2×499，499是质数，不能再分解。这样，分子就不能是499，分子也不能是499×2＝998（偶数上面已经全部排除了），分子也不能是499×3＝1497。因此，所有奇数中，要去掉499、1497这2个数。
11199611996199619961996+
3+
5+?+
19951996-(
149919961996+
1479)
==
×(1+3+5+?+1995)-×
1996?99821996×(499+499×3)
-
11996×499×4
=499-1=498 【答案】498。
16、【作业8】计算：
1121123211219951+++++++++?+++?++?+=_____。 1222333331995199519951995【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】将分母相同的分成一组。
1121123211219951+(++)+(++++)+?+(++?++?+) 1222333331995199519951995分母相同的，分子构成金字塔数列，可能记不住金字塔数列的和是什么，没
有关系，推导一下即可：
1+2+3+?+n+?+3+2+1=(1+2+3+?+n)+(n-1+?+3+2+1) =
n(n?1)2 +
n(n-1)2=n
2
2
对于本题，分子的金字塔数列之和n再除以分母的n，得到每一个分组的结果是：n÷n＝n。
原式＝1+2+3+?+1995=1996×1995÷2＝1991010。 【答案】1991010。
2
第二讲 比例初步
本讲是孩子们第一次接触比和比例，需要一个学习、消化、积累的过程。 比表示倍数关系，比和比例是不同的概念。
比的性质：前项、后项同时乘以或除以同一个非零数，比值不边。这个性质适用于多个数的比（多于2个的数）。
比例的性质：横式，两内项乘积＝两外项乘积；竖式，交叉相乘积相等。 此讲中，找不变量的应用题是难点。各元素之间的比例不同情况下是变的，但是总有不变量，找不变量是解题的关键。
21、【例6】将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友。原计划甲、乙、丙三人所得糖果的比为5：4：3。实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7：6：5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果。那么这位小朋友是_______（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为_____块。 【难度级别】★★★☆☆