内容发布更新时间 : 2025/1/4 1:58:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

拉普拉斯反变换

前面我们讲了一些基本函数的拉氏变换对以及有关拉氏变换的性质，利用这些拉氏变换对，是我们求解拉氏变换及反变换的便利方式，也是运算法求解动态电路的基础。 但是，用运算法求解电路时所得的结果象函数F(s)往往较为复杂。难以直接利用拉氏变换对求反变换。因此，我们有必要讨论如何通过一些方法求象函数所对应的原函数。 按定义，拉氏反变换为一积分式。但实际计算中，此积分运算十分不便。工程上一般采用（部分分式法+查拉氏变换对表）的方法来计算反变换。

部分分式法就是将F(s)分解为一些简单的基本函数之和。

设象函数F(s)可表示为一有理分式。

PP(s)1(s)F(s)??A(s)? 1Q1(s)Q(s)

P(s)amsm?am?1sm?1???a1s?a0F(s)??Q(s)bnsn?bn?1sn?1???b1s?b0

式中，ai，bj为实常数。m、n为正整数（0, 1, 2, …）。

在工程实际中，一般m?n（若m?n，n为一个常数加一个真分式），即F(s)为一个有理真分式。 F(s)的分解可以按三种情况讨论： ① Q(s)?0有不同实根； ② Q(s)?0有共轭复根； ③ Q(s)?0有重根。 一、Q(s)?0具有不同实根

设Q(s)?0有s1, s2, …, sn共n个不同实根。 则分母多项式Q(s)?bn(s?s1)(s?s2)?(s?sn)

P(s)P(s)F(s)?? Q(s)(s?s1)?(s?sn)

?k1kn?k2 ??s?s?s?s???s?s?

12n??kk ??s?s

k?1k式中Kk(k?1, 2, ?, n)为待定系数（常数），Kk确定后，

有

nKk?1?1 f(t)?L[F(s)]?L[?s?s]

k?1kskt?Ke ?k (t?0)

k?1nnP(s)(s?s)求Kk：以两边得： k乘F(s)?Q(s)

P(s)(s?sk) Q(s)s?sks?sks?sk?[K1?K2??Kk???Kn]

s?s1s?s2s?snF(s)(s?sk)?P(s)(s?sk)s?s?Kk

kQ(s)P(s)Kk?[(s?sk)]s?s ① kQ(s)令s?sk。则右侧所有(s?sk)项均为零。 则有

求解时，若当s?sk时

P(s)0(s?s) 因出现的不定式 kQ(s)0 则可用罗必塔法则求解。

d(s?sk)P(s)dsK?limk s?skdQ(s)ds?P(s)? 则 Kk??Q?(s)? ②

??s?sk ①式与②式等价。

s??1?L例1 求?2 ??s?3s?2?解：

k1k2ss??? 2s?3s?2(s?1)(s?2)s?1s?2s(s?1) k1?(s?1)(s?2)s??1s???1 s?2s??1s(s?2)s??2 2s?3s?2s??2s?1s??22??1??1?t?2t?L???e?2e ∴ 原式 ??s?1s?2??s?2例2 分解3

s?2s2?s?2s?2s?2解：原式?s2(s?2)?(s?2)?(s?2)(s2?1)

k3k1k2s?2??? ?

(s?2)(s?1)(s?1)s?2s?1s?1 k2?(s?2)(s?2)s?24k???? 1(s?2)(s?1)(s?1) 2s?13s??2s??2s?23k?? 2(s?2)(s?1) 2s??1s?21 k3?(s?2)(s?1)??6

s?1413?3?2?6? ∴ 原式 s?2s?1s?1二、Q(s)?0含有共轭复根

设Q(s)?0含有一对共轭复根s???j? 则Qs可分解为：

Q(s)?(s???j?)(s???j?)(s?s3)?(s?sn)