内容发布更新时间 : 2024/11/20 12:38:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
含参数导数的解题策略
导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略
在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若a?f?x?恒成立，只须求出
f?x?max，则a?f?x?max；若a?f?x?恒成立，只须求出f?x?min，则a?f?x?min，转
化为函数求最值．
例1、已知函数f(x)?xlnx.（Ⅰ）求f(x)的最小值； （Ⅱ）若对所有x?1都有f(x)?ax?1,求实数a的取值范围.
二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略
求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．
（x?a). 例2.已知a是实数，函数f(x)?x（Ⅰ）若f?(1)?3,求a的值及曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值．
三、导函数为0是否存在，分类讨论策略
求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．
2例3、已知函数f(x)?x?x?alnx，(a?R)，讨论f(x)在定义域上的单调性．
2
四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略
求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．
mx2?3(m?1)x?3m?6例4、已知m?0，讨论函数f(x)?的单调性．
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练习
求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的
实根是否落在定义域内，从而引起讨论。
二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根
也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 三、
?1,x?1?1．08广东（理） 设k?R，函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R，
??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性。
2． (08浙江理)已知a是实数，函数f?x??（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间；
（Ⅱ）设g?a?为f?x?在区间?0,2?上的最小值。
（i）写出g?a?的表达式；（ii）求a的取值范围，使得?6?g?a???2。
x?x?a?
2ax?a2?13（07天津理）已知函数f?x???x?R?，其中a?R。 2x?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f?x?在点2,f?2?处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，求函数f?x?的单调区间与极值。
4（07高考山东理改编）设函数f?x??x?bln?x?1?，其中b?0，求函数f?x?的极值
2??
点。
含参数导数的解题策略
例1、解：（Ⅰ）略． （Ⅱ）∵ 对所有x?1都有f(x)?ax?1， ∴ 对所有x?1都有xlnx?ax?1，即a?lnx?记g(x)?lnx?1. x1,(x?0),只需 a?g(x)min. x11令g'(x)??2?0,解得x?1.
xxg'(x)?0?x?1,g'(x)?0?0?x?1.
∴ 当x?1时，g(x)取最小值g(1)?1. ∴ a?1.即a的取值范围是aa?1. 例2. 解：（I）略．
（II）令f'(x)?0，解得x1?0,x2?当
??2a． 32a?0，即a?0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而fmax?f(2)?8?4a． 32a当?2时，即a?3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而fmax?f(0)?0．
3当0?2a?2a??2a??2，即0?a?3，f(x)在?0,?上单调递减，在?,2?上单调递增，3?3??3???8?4a,0?a?2.?? ??0, 2?a?3.从而 fmax综上所述，fmax??8?4a, a?2.?? ??0, a?2.a2x2?x?a,(x?0)， 例3、 解：由已知得f?(x)?2x?1??xx1时，f?(x)?0恒成立，f(x)在(0,??)上为增函数． 81 （2）当??1?8a?0，a?时，
8 （1）当??1?8a?0，a? 1)0?a?1?1?8a1?1?8a1?1?8a1?1?8a1,] ??0，f(x)在[时，22228