内容发布更新时间 : 2024/12/22 14:52:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
8－2 信号的采样和复现的数学描述
一、 采样过程
所谓理想采样，就是把一个连续信号e(t)，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得
到一串脉冲序列信号e?(t)。可见在采样瞬时，e?(t)的脉冲强度等于相应瞬时e(t)的幅值，即
e(0T),e(1T),e(2T),?e(nT)，?如图8－8所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，
如图8－9所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列?T(t)作为幅值调制器的载波信号，?T(t)的数学表达式为
??T(t)?其中n?0,±1,±2,?
e(t)调幅后得到的信号，即采样信号e(t)为
???(t-nT)n?-? (8－1)
?e(t)?e(t)?T(t)?e(t)???(t?nT)
n??? (8－2)
通常在控制系统中，假设当t?0时，信号e(t)?0，因此
e(t)?e(0)?(t)?e(T)?(t?T)?e(2T)?(t?2T)??
??e(nT)?(t?nT)??
?
(8－3)
或 e(t)???e(nT)?(t?nT)
n?0 (8－4)
式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的?(t?nT)表示脉冲出现的时刻；而e(nT)代表这一时刻的脉冲强度。
式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。然而，一个值得提出的问
题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全
部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。
假设连续信号e(t)的富氏变换式为E(j?)，采样后信号e*(t)的富氏变换式用E*(j?)表示，下面我二、 采样信号的频谱
们来看E?(j?)的具体表达式。
由于理想脉冲序列?T(t)是一个周期函数，其周期为T，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即
?T(t)?1T??n???ejn?st （8－5）
其中?s?2?T为采样角频率。
?将式(8－5)的结果代入(8－2)式得
1T?e(t)?e(t)?T(t)??e(t)en???jn?st （8－6）
根据复位移定理；若F[e(t)]?E(j?)，则
F[e(t)e?at]?E(j??a)
因此，式(8－6)的富氏变换式为
F[e(t)]?E(j?)???1T??E(j??n???jn?s) (8－7)
?假定连续信号e(t)的频谱如图8－10(a)所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号e(t)的频谱如图8－10(b)所示。
由图8－10，可得到如下结论： (1)n?0的项为
1TE(j?)，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号e(t)的频谱。
(2) 同时派生出以?s为周期的，无限多个高频频谱分量
1TE(j??jn?s)，其中n?±1，
±2,?。h
以上表明了连续信号与它所对应的离散信号在频谱上的差别。从富氏变换及其反变换的有关定理可
知，在一定条件下，原函数e(t)与其富氏变换式E(j?)是一一对应的，亦即由富氏变换式E(j?)可以唯一地还原成原函数e(t)。可以设想，如果让采样信号通过一个图8－11所示的理想滤波器，将所有派生出来的高频分量全部滤掉，而同时保留其基本频谱信号。那么经过这样处理后的信号，只要将其幅值放大T倍，就能完全重现原信号。
由图8－10不难看出，要想完全滤掉高频分量，筛选出基本频谱，从而根据采样信号e?(t)来复现采
样前的连续信号e(t)，采样频率?s必须大于或等于连续信号e(t)频谱中最高频率?max的两倍，即
?s?2?max
(8－8)
这就是有名的香农(Shannon)采样定理。这一定理告诉我们，只要采样频率足够高，我们完全不必担心采样过程会损失任何信息。
由图8－10也可看出，若采样频率不够高，即?s?2?max时，则将会出现如图8－12所示的频谱重
叠现象。很明显，这时，我们就无法再把基本频谱和派生高频频谱分开；从而，也就无法重现原信号，或者说，采样过程将损失信息。另外，需要指出的是，如图8－11所示的理想滤波器，实际上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能与理想滤波器相近似的低通滤波器，其中最常用的低通滤波器就是零阶保持器。
零阶保持器的输入、输出关系如图8－13所示。因此，零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第三、 零阶保持器的数学模型
nT时刻的采样信号值一直保持到第(n?1)T时刻的前一瞬时，把第(n?1)T时刻的采样值一直保持到
(n?2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列e(t)变成一个连续的阶梯信号eh(t)。因为在每一个采
?样区间内eh(t)的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器，可用“ZOH”来表示。
如果把阶梯信号eh(t)的中点连起来，则可以得到与e(t)形状一致而时间上迟后半个采样周期(T2)
T2)，如图8－13中的虚线所示。由此也可初步估计到零阶保持器对于系统动态性能的影
的响应曲线e(t?响。