函数与方程-历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/5/13 8:53:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

函数与方程部分

2018A 5、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数,在区间?0,1?上严格递减,且满足f(?)?1,

?1?x?2的解集为 f(2?)?2,则不等式组??1?f(x)?2◆答案:???2,8?2??

★解析:由f(x)为偶函数及在区间?0,1?上严格递减知,f(x)在??1,0?上递增,结合周期性知,f(x)在?1,2?上递增,又f(??2)?f(?)?1,f(8?2?)?f(?2?)?f(2?)?2, 所以不等式等价于f(??2)?f(x)?f(8?2?),又1???2?8?2??2 所以??2?x?8?2?,即不等式的解集为???2,8?2??

2018A,B 9、(本题满分16分) 已知定义在R上的函数f(x)为

??log3x?1,0?x?9f(x)??,设a,b,c是三个互不相同的

,x?9?4?x实数,满足f(a)?f(b)?f(c),求abc的取值范围。

★解析:不妨设a?b?c,由于f(x)在?0,3?上递减,在?3,9?上递增,在?9,???上递减,且f(3)?0,

f(9)?1,结合图像知:a??0,3?,b??3,9?,c??9,???,且f(a)?f(b)?f(c)??0,1?。

由f(a)?f(b)得log3a?log3b?2,即ab?9,此时abc?9c,

,144?。 又f(c)?4?c,由0?4?c?1得c??9,16?,所以abc?9c??81

2018B 7、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数,在区间?1,2?上严格递减,且满足f(?)?1,

?0?x?1f(2?)?0,则不等式组?的解集为

?0?f(x)?1◆答案:?2??6,4???

★解析:由f(x)为偶函数及在区间?1,2?上严格递减知,f(x)在??2,?1?上递增,结合周期性知,

f(x)在?0,1?上递增,又f(4??)?f(?)?1,f(2??6)?f(2?)?0,所以不等式等价于

f(2??6)?f(x)?f(4??),又0?2??6?4???1,即不等式的解集为?2??6,4???.

2017A1、设f(x)是定义在R上函数,对任意的实数x有f(x?3)?f(x?4)??1,又当0?x?7时,f(x)?log2(9?x),则f(?100)的值为 ◆答案: ?1 2★解析:由条件知,f(x?7)f(x)??1,即f(x?7)f(x?14)??1,故f(x)?f(x?14),即函数f(x)的周期为14,所以f(?100)?f(?2)??

2017B 3、设f(x)是定义在R上的函数,若f(x)?x2是奇函数,f(x)?2x是偶函数,则f(1)的值为 ◆答案:?11?? f(5)27 41, 22★解析:由条件知,f(1)?1??(f(?1)?(?1))??f(?1)?1,f(1)?2?f(?1)?两式相加消去f(?1),可知:2f(1)?3??

17,即f(1)??. 242016A 3、正实数u,v,w均不等于1,若loguvw?logvw?5,logvu?logwv?3,则logwv的值为 ◆答案:

4 5★解析:令loguv?a,logvw?b,则

11,logwv?,loguvw?loguv?loguv?logvw?a?ab ab115条件化为a?ab?b?5,??3,由此可得ab?,因此

4ab4logwu?logwv?logvu??.

5logvu?

2016A 10、(本题满分20分)已知f(x)是R上的奇函数,f(1)?1,且对任意x?0,均有

x1111111)?xf(x)。求f(1)f()?f()f()?f()f()???f()f()的值。 x?110029939850511★解析:设an?f()(n=1,2,3,…),则a1?f(1)?1.

n1?x1xk?1,及f(x)为奇函数.可)?xf(x)中取x??(k?N*),在f(注意到?1x?1kx?1k?1??1kf(知

f(11111)??f(?)?f()……………………5分 k?1kkkkn?1ak?11ak?1n?111即.……………………10分 ?,从而an?a1?????akkak(n?1)!k?1k?1k因此

?aai?150i101?i4911 ?????(99?i)!i?1(i?1)!(100?i)!i?0i!50149i149i119929899?i……………………20分 ?(C99?C99)???2??C99?99!?99!i?099!299!i?0

2016B 4、已知f(x),g(x)均为定义在R上的函数,f(x)的图像关于直线x?1对称,g(x)的图像关于点(1,?2)中心对称,且f(x)?g(x)?9x?x3?1,则f(2)g(2)的值为

◆答案:2016

★解析:由条件知f?0??g?0??2, ①

f?2??g?2??81?8?1?90. ②

由f?x?,g?x?图像的对称性,可得f?0??f?2?,g?0??g?2???4,结合①知,

f?2??g?2??4?f?0??g?0??2. ③

由②、③解得f?2??48,g?2??42,从而f?2?g?2??48?42?2016.

另解:因为f?x??g?x??9x?x3?1, ①