内容发布更新时间 : 2024/12/26 23:51:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
实验名称： 实验一 拉格朗日插值
1 引言
我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中，函数f(x)在区间[a,b]上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。
2 实验目的和要求
运用Matlab编写三个.m文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f(0.15)，f(0.31)，f(0.47)的近似值。已知函数表如下：
x f(x) 0.0 0.39894 0.1 0.39695 0.195 0.39142 0.3 0.38138 0.401 0.36812 0.5 0.35206 3 算法原理与流程图
（1）原理
设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x0,x1,…,xn≤b上分别取值y0,y1,…,yn。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P(x)，满足插值条件P(xi)=yi(i=0,1,…,n)，而在其他点x≠xi上，作为f(x)近似值。求插值函数P(x)的方法称为插值法。在本实验中，采用拉格朗日插值法。 ①分段低次插值
当给定了n+1个点x0 f(x)?P1(x)?yi?1x?xix?xi?1 ?yixi?1?xixi?xi?1这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。 类似地，我们可以选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进行二次插值，即得 ?x?xj?i?1??f(x)?P2(x)???yk??1?xk?xjk?i?1?jj??i?k?i?1???? ?????这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。 ②全区间上拉格朗日插值 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0≤k≤n)，作一n次多项式lk(x)，使它在该点上的取值为 1，在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上取值为零。对应于每一节点xk(k=0,1,…,n)，都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式l0(x),l1(x),…,ln(x)，其中 lk(x)?Ak(x?x0)(x?x1)(x?xk?1)(x?xk?1)由条件lk(xk)?1可得 ?(x?xn)； Ak?(xk?x0)1(xk?xk?1)(xk?xk?1)(xk?xn) 于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式（对于全区间上的插值，n取函数表的长度） Pn(x)?y0l0(x)?y1l1(x)??k?0ynln(x)?ykn(x?x0)(x?xk?1)(x?xk?1)(x?xn)(xk?x0)(xk?xk?1)(xk?xk?1)(xk?xn) （2）流程图 分段线性插值 分段二次插值 全区间拉格朗日插值 4 程序代码及注释 1、分段线性插值 %分段线性插值 function y=piece_linear(x0,y0,x) % x0，y0为已知点，x为待求点 n=length(x0);p=length(y0);m=length(x); % n，p，m分别为x0，y0，x长度 if n~=p fprintf('Error! Please input again!\\n'); % x0和y0长度不等时，报错 else for i=1:m z=x(i); sum=0.0; l=0; %给l赋初值,根据x的值确定l if z x0(n) fprintf('Error!x(%d) is out of range!\\n',i); break; end %当插值点超出范围时，报错 for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; fprintf('y(%d)=%.5f\\n',i,y(i)); %输出插值结果 end end end 5 算例分析 1、 测试示例