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2015考研数学冲刺：三大常用的抽样分布

来源：文都教育

在2014考研中，三大抽样分布在考研数学选择题中出现2次，大题中1次，不是常考点，但这两道选择题集中出现在这两年的真题中。同学们复习的时候一定不要忽略这部分的内容，下面老师对这部分的知识点进行讲解，以帮助广大考生理清思路。 一、基本知识点 1．?2分布

（1）定义：设随机变量X1,X2,2X2?X12?X2?,Xn相互独立且都服从N(0,1)，则称随机变量

22?Xn服从自由度为n的?2分布，记为X?2(n)．

（2）性质 ①X22?2(n)，P{X???(n)}?2?2,P{X??2?(n)}?1?1?2?2，则称??(n)为X的上

22?2分位点，称?21??(n)为X的下

2?分位点． 2?2(m?n)．

②设X③设X2?2(m),Y2?2(n)，且X,Y相互独立，则X?Y2?2(n)，则EX?n,DX?2n．

2．t分布

（1）定义：设随机变量XN(0,1),Y?2(n)，且X,Y相互独立，则称随机变量

t(n)．

T?X为服从自由度为n的t分布，记为TY/n（2）性质 ①设X②设X的． ③若X

t(n)，其密度函数为偶函数，当n充分大时，X非常接近标准正态分布． t(n)，若P{X?t?(n)}??，称t?(n)为X的上?分位点，其上下分位点是对称

t(n)，则EX?0,DX?n(n?2)． n?23．F分布

（1）定义：设随机变量X?2(m),Y?2(n)，且X,Y相互独立，则称随机变量F?XmYn为服从自由度m,n的F分布，记为Fm,n)为若P{X?F?(m,n)}??，称F?(F(m,n)．

上?分位点；若P{X?F1??(m,n)}??，则称F1??(m,n)为下?分位点． （2）性质

①若FF(m,n)，则

1FF(n,m)．

②F?(m,n)?二、典型例题

1．

F1??(n,m)例1 设总体XN(?,?2)，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，求统计量

1?2?(Xi?1ni??)服从的分布．

解析：因为Xi例2 设总体XN(?,?)，所以

2Xi???则N(0,1)(1?i?n)，

1?2?(Xi?1ni??)?(2)n．

N(0,?2)，X1,X2,X3,X4为总体X的简单随机样本．

（1）求统计量U?X1?X2X?X2324服从的分布；（2）求统计量V?X12?X22X?XN(01,),2324服从的分布．

解析：（1）由X1?X22X32?X4N(0,2?2)，得X1?X22?N(0,1)，由

X3X4??(01,)N，

得

?22X32?X4X1?X2X1?X2?(2)，且与独立，则U??22?2?22X32?X42?2t(2)

（2）由

2X12?X2?2?(2),22X32?X4?22?(2)且

22X12?X2?2与

2X32?X4?2独立，由F分布的

22X12?X2?V??定义得22X32?X4X32?X42X12?X2F(2,2)． 2?2

例3 设总体XN(0?,2)，X1,X2,,X20是总体X的简单样本，求统计量

U??(?1)Xii?110i?Xi?1120所服从的分布．

2i解析：因为X1,X2,,X20独立同分布，且服从N(0,?2)，所以

?(?1)Xii?110iN(0,10?)?2?(?1)Xii?110i10?N(0,1)，?(i?1120Xi2?)?2(10)，

且?(?1)Xii?110i10?,?(i?1120Xi2?)相互独立．则U??(?1)Xii?110i?Xi2i?11220?10?Y?Z2?YZ/10t(10)．

例4 （2012）设X1,X2,X3,X4为来自总体N(1,?)(??0)的简单随机样本，则统计量

X1?X2的分布为（ ）

|X3?X4?2|2（A）N(0,1) （B）t(1) （C）?(1) （D）F(1,1)

解析:由X1?X2N(0,2?2)，得X1?X22?N(0,1)，由X3?X4N(2,2?2)，得

X3?X4?22?N(0,1)，于是(X3?X4?22)2??2(1)．由X?X4?2X1?X2与3独立，2?2?X1?X22?得X?X4?22(3)2?

t(1)，即

X1?X2|X3?X4?2|t(1)．