内容发布更新时间 : 2024/5/4 18:39:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二部分 数列
等差、等比数列；数列部分和求法；由an?1?a?an?b、an?2?a?an?1?b?an定义的数列；由an?1?f?an?定义的数列，其中f?x??数列的极限。
等差、等比数列：
等差数列的通项、部分和公式：an?1?a1??n?1?d，
n?n?1?d；
22S等差数列平均值与中项的关系：2k?1?ak?1，a1?a2k?1?a2?a2k???2ak?1；
2k?1Sn?1?ax?b，c?0，ad?bc?0； cx?d?a1?an??n?naa11?qna?qan等比数列的通项、部分和公式：an?1?a1?q，Sn?， ?11?q1?qn??a1?an?a2an?1??。
例 设Sn是等差数列?an?前n项和，且S9?18，an?4?30，Sn?3360（n?9），则n的值为 。
?260?10?9a1?36d?d????9?n?9??n?210。 解 （常规）?30?a1??n?5?d????n9?n??3360?30n?n?n?1?d3360?na?d?1?2?2?1n?a1?an??16n?3360。 或者：a5?S9?2，an?a1?an?4?a5?32，Sn?92
例 设数列?bn?满足b1?1，bn?0，?n?2,3,??其前n项乘积Tn??an?1bn?n（n?1,2,?）。①证明?bn?是等比数列；②求?bn?中所有不同两项的乘积之和。 解 （1）n?2时，bn?n?1n?bn?Tnbn?2?n?1??2?； ???a??a??Tn?1bn?1?bn?1?2n??1?a?2n?21?a?4n??1??n?1（2）??bibj????bi???bi2?????1?a?2???1?a?4? 22i?1j?i?1??????i?1?i?1??????a?a??1?a? ??1?a??1?a??2?2n?2n?22?2
习题：
1. 记等差数列?an?的前n项和为Sn。设A、B、C为三角形的三个顶点，点D
????????????在直线BC上。若AD?a1AB?a2010AC，则S2010? 1005 。 解 AD??AB??1???AC
（因为BD?AD?AB??a1?1?AB?a2010AC??BC??AC?AB）， 所以a1?a2010?1，S2010?
2. 等差数列?an?中，a5?0，a6?0且a6?a5，Sn是前n项之和，则下列 是正确的。
A.S1，S2，S3均小于0，而S4，S5,?，均大于0； B. S1，S2,?，S5均小于0，而S6，S7,?，均大于0； C. S1，S2,?，S9均小于0，而S10，S11,?，均大于0； D. S1，S2,?，S10均小于0，而S11，S12,?，均大于0。
a5?a6?0，因此 29?a1?a9?9?a5?a5???0。 S10?5?a1?a10??5?a5?a6??0，S9?22
??2010?a1?a2010??1005。
2解 a5?0且a6?0?d?0；a6?a5?3. 已知等差数列?an?中，a3?a7?a11?a19?44，a5?a9?a16=______________。 解 a3?a7?a11?a19?2a11?2a9?4a10?44?a10?11， a5?a9?a16?a4?a10?a16?2a10?a10?33。
4. 有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间
两数和为24，则这四个数是___________________。 解 此4数为a1，a1q，a1q2，2a1q2?a1q。
1?a12q2?q?1?32?q?32q2?q?14??q?? 由?，或者。 ???222q?q3?a?32?a1?2?a1q?q?24?1
????5. 若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2?px?q?0的两个
根，则此数列各项的积是
( )
A．pm B．p2m C．qm D．q2m
m解 am?am?1?q，a1??a2m??am?am?1??qm。
6. 求和：
(1) 7?77?777???777?7 ?????n个7(2) 2005?20052005?200520052005???2005?20052005?????????
n个2005解（1）a1?7，an?1?an?7?10n?an??7?10n?1?10??S??n n??。 9?9?7n10?1， 9??
数列部分和求法：裂项、并项、错项 裂项法：一项拆成两（多）项，常用于?并项法：两（多）项并成一项；
错项法：多见于?anbn，其中?an?是等差数列，?bn?是等比数列。
1??1??1??例 ?1?2??1?2???1?2??_______________。
?2??3??n?1??1??1??13??24??n?2n??n?1n?1??解 ?1?2??1?2???1?2?????????????????
n??2??3??n??22??33??n?1n?1??n1、连乘等； akak?1 ?
n?1。 2n4x?1??2??n?1?例 对定义在R上的函数f?x??x，令Sn?f???f?????f??，
nnn4?2??????n?2,3,?
(1) 求Sn；(2) 是否存在常数M?0，?n?2，有
4x41?x?1?x?1，故 解 （1）f?x??f?1?x??x4?24?2111?????M？ S2S3Sn?1k,n?2k?1n?1?? Sn??1； ?k?,n?2k2??2（2）
111222?????2?1?????。 S2S3Sn?134n111??????，这样的M不存在。 23nn（k是不等于1的常数），则 nk 由于1?
例 已知数列an?a1?a2?a3???an?_______________。 解 Sn?a1?a2???an，则kSn?1?23n?2???n?1， kkk111nkn?1?1n? ?k?1?Sn?1??2???n?1?n?1?n。
kkkkk?kn?1kn
习题：
1. 22?42?62?82???(?1)n?1(2n)2=___________。 解 22?42?62?82???2n??4?2
2n?n?1??2n?1??(22?42?62?82??3n?n?1??2n?1?，所以
6??(n?1)1n()2 )2?22???n???n????n?????32?1?n???24?8????4????2?????2??1????2?2??1??。 ???62????????????????
2. 已知ak?k?2，则数列{an}前100项和为___________。
k!?(k?1)!?(k?2)!解
k?21k?211k?1?????
k!??k?1?!??k?2?!k!1??k?1???k?1??k?2?k!k?2?k?2?!11?。 ?k?1?!?k?2?! ?
3. 数列?an?的通项公式为an?1，则这个数列的前99项之和
nn?1?(n?1)nS99?_______。 解 an?
4. 数列1,3,2,?中，an?2?an?1?an，求?ai?_______________。
i?110011n?1?n11。 ????nn?1n?n?1nn?1nn?13，2，?1，?3，?2，1，3，2，?，故?ai?1?3?2?1?5。 解 数列为1，i?1100
5. 设i是虚数单位，则?ikcos?45?90k?? （ ）
?k?040A．211122 C． B．?21?20i? D．?21?20i? 2222??????????3??解 cos?icos????i2cos?????i3cos???
442442?????? ?4021?i?i2?i3?2?1?i?， 2??
????k483640??icos45?90k?21?i1?i?i???i?icos????20?? ??4?k?0?? ?
212?102i。 26. 已知数列?an?的前n项和为Sn，
an?1，求S2003。
(n?1?n)(n?1?n?1)(n?n?1)解 an?1?2?n?1?n?11?11?????。
n?1?nn?n?12?n?1?nn?n?1????