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2018秋季--周家乐

第1-3讲 二次函数全章综合提高

【知识清单】 ※一、网络框架

※二、清单梳理

????????????????概念：形如y?ax2(a?0)的函数???简单二次函数?图像：是过（0,0）的一条抛物线?????????对称轴：y轴????性质?最值：当a?0时，y最小值=0；当a?0时，y最大值=0???????增减性?当a?0时，在对称轴左边（即x?0）,y随x的增大而减小。在对称轴右边（即x?0）,y随x的增大而增大。?????当a?0时，在对称轴左边（即x?0）,y随x的增大而增大。在对称轴右边（即x?0）,y随x的增大而减小。?????概念：形如y?ax2?bx?c(a?0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。???二次函数?????开口方向：a?0，开口向上；a?0，开口向下。????b4ac?b2???图像：是一条抛物线?顶点坐标：（-,）?2a4a????b??对称轴：x?-??2a??????4ac?b24ac?b2?一般二次函数?，当a?0时，y最大值=?最值：当a?0时，y最小值=??4a4a????bb??性质：?当a?0时，在对称轴左边（即x?-）,y随x的增大而减小。在对称轴右边（即x?-）,y随x的增大而增大。????2a2a??增减性：??????当a?0时，在对称轴左边（即x?-b）,y随x的增大而增大。在对称轴右边（即x?-b）,y随x的增大而减小。????2a2a??????待定系数法求解析式???应用?与一元二次方程和不等式的关系?????建立函数模型解决实际问题?????1、一般的，形如y?ax?bx?c(a?0,a,b,c是常数)的函数叫二次函数。例如

21y??2x2,y?2x2?6,y??x2?4x,y??5x2?9x?6等都是二次函数。注意：系数a3不能为零，b,c可以为零。

2、二次函数的三种解析式（表达式）

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①一般式：y?ax?bx?c(a?0,a,b,c是常数)

②顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k为常数，且a?0)，顶点坐标为(h,k)

③交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标) 3、二次函数的图像位置与系数a,b,c之间的关系

①a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当a?0时，开口方向向上；当a?0时，开口方向向下。|a|决定开口大小，当|a|越大，则抛物线的开口越小；当|a|越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。 ②c：决定抛物线与

22y轴交点的位置。当c?0时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即xy轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）；当c?0时，抛物

轴上方）；当c?0时，抛物线与线过原点。反之，也成立。

③ a和b：共同决定抛物线对称轴的位置。当?bb?0时，?0对称轴在y轴右边；当?2a2a时，对称轴在

y轴左边；当?b?0（即当b?0时）对称轴为y轴。反之，也成立。 2a④特别：当x?1时，有y?a?b?c；当x??1时，有y?a?b?c。反之也成立。 4、二次函数y?a(x?h)?k的图像可由抛物线y?ax向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当h?0时，抛物线y?ax向右平移h个单位；当h?0时，抛物线y?ax222222向左平移?h个单位，得到y?a(x?h)；当k?0时，抛物线y?a(x?h)再向上平移k个22单位，当k?0时，抛物线y?a(x?h)再向下平移?k个单位，而得到y?a(x?h)?k的

图像。

5、抛物线y?ax?bx?c(a?0)与一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的关系：

①若抛物线y?ax?bx?(ca?0)与

222x轴有两个交点，则一元二次方程

2 ax?bx?c?0(a?0有两个不相等的实根。)

②若抛物线y?ax?bx?(ca?0)与

2x轴有一个交点，则一元二次方程

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。 ax2?bx?c?0(a?0)有两个相等的实根（即一根）③若抛物线y?ax?b?x(2ax?b?x2c?0a)与x轴无交点，则一元二次方程

?c0(2没有实根。 a?0)6、二次函数y?ax?bx?c(a?0,a,b,c是常数)的图像与性质

关系式 图像形状 顶点坐标 对称轴 y?ax2?bx?c(a?0) 抛物线 y?a(x?h)2?k(a?0) b4ac?b2(?,) 2a4ax?? (h,k) b 2ax?h b或x?h，y随x的增大而减2ab或x?h，y随x的增大2a 增 减 性 在图像对称轴左侧，即x??a?0 小；在图像对称轴右侧，即x??而增大； 在图像对称轴左侧，即x??b或x?h，y随x的增大而增2ab或x?h，y随x的增大2aa?0 大；在图像对称轴右侧，即x??而减小； 最大值最小值 b4ac?b2当x?h时，y最小值=k 当x??时，y最小值= 2a4aa?0 a?0 b4ac?b2当x?h时，y最大值=k 当x??时，y最大值= 2a4a

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