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专题综合检测五
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2013·泗县双语中学模拟)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于( )
11
A.2或－2 1C．－2 [答案] B
2t321
[解析] 由条件知，1＝6t≠，∴t＝2. －2
(理)(2013·吉大附中二模)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为( )
A．x＋4y＋3＝0 C．4x－y＋3＝0 [答案] D
1
[解析] y′＝4x，直线x＋4y－8＝0的斜率k＝－4，令4x＝4得x＝1，
∴切点(1,2)，∴切线l：y－2＝4(x－1)， 即4x－y－2＝0，故选D.
2．(2013·眉山二诊)抛物线y＝4x2的焦点坐标是( ) A．(1,0) 1C．(0，16)
1B.2 1D.4
B．x＋4y－9＝0 D．4x－y－2＝0
B．(0,1) 1
D．(0，8)
[答案] C
111
[解析] y＝4x化为x＝4y，∴2p＝4，∴p＝8，
2
2
1
∴焦点F(0，16)．
x2y2
3．(文)(2013·北京理，6)若双曲线a2－b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A．y＝±2x 1C．y＝±2x [答案] B
[解析] 本题考查双曲线的离心率及渐近线方程等几何性质． 因为离心率e＝3，所以c＝3a，∴b2＝c2－a2＝2a2，∴b＝2a，因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±2x.选B.
2
y
(理)(2013·北京文，7)双曲线x2－m＝1的离心率大于2的充分必
B．y＝±2x 2
D．y＝±2x
要条件是( )
1
A．m>2 C．m>1 [答案] C
[解析] 双曲线离心率e＝1＋m>2， 所以m>1，选C.
x2y2
4．(2013·天津理，5)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝( )
B．m≥1 D．m>2
A．1 C．2 [答案] C
3B.2 D．3
cb2222
[解析] ∵e＝a＝2，∴b＝c－a＝3a，∴a＝3，双曲线的两p3pp3p
条渐近线方程为y＝±3x，不妨设A(－2，2)，B(－2，－2)，p1p
则AB＝3p，又三角形的高为2，则S△AOB＝2×2×3p＝3，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.
5．(2013·哈六中二模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为→→→→B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF＝FB，BA·BC＝36，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x C．y2＝12x [答案] D
pp
[解析] ∵F(2，0)，设A(x0，y0)，y0>0，则C(－2，y0)，B(p－p3p3p22
x0，－y0)，由条件知p－x0＝－2，∴x0＝2，∴y0＝2p·＝3p，∴y0
2→→p3pp
＝3p，∴B(－2，－3p)，A(2，3p)，C(－2，3p)，∴BA·BC＝(2p,23p)·(0,23p)＝12p2＝36，∴p＝3，
∴抛物线方程为y2＝23x.
6．(2013·江西八校联考)若圆锥曲线C是椭圆或双曲线，其中心
B．y2＝3x D．y2＝23x
3
为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(－2，23)，B(2，－5)，则( )
A．曲线C可为椭圆，也可为双曲线 B．曲线C一定是双曲线 C．曲线C一定是椭圆 D．这样的曲线C不存在 [答案] B
[解析] 设曲线为mx2＋ny2＝1，∵A、B在曲线C上，
?4m＋12n＝1，∴?9
?4m＋5n＝1，
?m＝1，∴?1
n＝－?4.
2
y
∴曲线方程为x2－4＝1，故选B.
7．(2013·江西师大附中、鹰潭一中模拟)已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则下列关于e1、e2的关系式不正确的．．．是( )
A．e2＋e1＝2 C．e2e1＝2 [答案] A
[解析] 设正三角形的边长为2，椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距长分别为a′、b′、c′，则2c′＝2c＝|AB|＝2，∴c′＝c＝1,2a＝|DB|＋|DA|c＝3＋1,2a′＝|DB|－|DA|＝3－1，∴e1＝a＝2
＝3－1，e2＝3＋1
B．e2－e1＝2 e2D.e>2 1
2
＝3＋1，故选A. 3－1
y2
8．(2013·苍南求知中学月考)过双曲线M：x－b2＝1的左顶点A
2
作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、→→
C，且BC＝2AB，则双曲线M的离心率是( )
A.5 C.17 [答案] C
[解析] 由条件知A(－1,0)，∴l：y＝2(x＋1)，双曲线渐近线方→→??y＝2?x＋1?，
程为y＝±bx，∵BC＝2AB，∴B在A，C之间，∴由?
?y＝－bx，?22b
得B(－，)，
b＋2b＋2
??y＝2?x＋1?，22b?由得C(，)，
b－2b－2?y＝bx，?
B.10 D.37
→→
再由BC＝2AB得b＝4，∴e＝17.
9．(2013·天津和平区质检)若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是( )
2
A．(－3，0) 2
C．(0，3) [答案] C
[解析] 设直线AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b，由条件
3
B．(0，2)
2
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)