内容发布更新时间 : 2024/5/27 8:08:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初中数学竞赛专题选讲 绝对值

一、内容提要

1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.

?a(a?0)?用式子表示如下：a???a(a?0)

?0(a?0)?2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解

答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：

X<0 x>2 0

（1）化简 x(x?2)

0 解：当x=0, x=2时, x(x?2)=0；

当x<0或x>2时, x(x?2)=x(x－2)=x－2x；

2

2 当0

2

（2）解方程x?x?2=6.

解：当x<0时，x=－2；

当0≤x≤2时，方程无解； 当x>2时，x=4.

∴原方程的解是：x=－2， x=4.. （3）作函数y=x?x?2的图象.

解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；

y=2 (0≤x≤2) ； y=2x－2 (x>2).

分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=x?x?2的图象.

3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.

用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.

例如： ①解方程x?3； ②解不等式x?3； ③解不等式x＋2?3.

解：①∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，

即3和－3，

∴方程x?3的解是x=3, x=－3.

②∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式x?3的解集是 －3＜x＜3. ③∵x?2的零点是x=－2,

∴x＋2?3的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，

∴x＋2?3的解集是x<－5或x>1.（如下图）

--5 -2 0 1 4. 绝对值的简单性质： ①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等. 根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：

（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的

部份，绕x轴向上翻折

作函数图象：①y=x?1 ②y=x2?x?2

（2） 当f（－x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于

纵轴对称的图象.

例如：y=x－2x－3的图象，

2

可先作y=x+2x－3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.

（3） 把y=x的图象向上平移a个单位，所得图象解析式是y=x?a；

2

把y=x的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=x－3.

（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便. 二、例题

例1. 已知方程x＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.

（1987年全国初中数学联赛题）

解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x= ∴a>－1；

当x>0时，原方程为x=ax+1, x= ∴a<1.

∵方程有一个负根并且没有正根， ∴a>－1且a≮1，

∴a的取值范围是a≥1.

例2. 求函数y=2x－3?x的最小、最大值.

解：当x<0时， y=－x+6；

当0≤x<3时，y=－3x+6；

当x≥3时， y=x－6 .

根据图象有最低点而没有最高点 ∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).

例3. 解方程：①x?2?4?x； ②x?1?x?2?4.

解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图），

∴x=1.

②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4，AB＝3

－1?0, ∴ a+1>0. a?11?0, ∴1－a>0. 1－a