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基于小波变换的信号奇异性检测研究

作者：王丰 詹丹凤 孙雷 占永宁 来源：《科技视界》2014年第21期

【摘 要】信号的突变性或奇异性经常携带有比较重要的信息， 它是信号重要的特征之一。本文介绍了小波变换的基本概念， 讨论了小波变换的奇异性检测方法，可以应用于海洋声波信号的奇异性检测。阐述了高斯和Daubechies小波函数的信号奇异性检测原理及其MATLAB仿真实现， 分析了信号奇异点的定位方法和小波检测效果， 并指出了利用此方法时对所用小波函数的要求及小波尺度的选取对检测结果的影响，为非平稳信号的奇异性检测的研究提供了一种行之有效的方法。

【关键词】小波变换；奇异性检测；高斯函数；Daubechies小波 0 引言

由于海水的导电性良好，电磁波和光波在海水中有着强烈的吸收衰减，所以很难广泛地应用于海洋勘探。

迄今为止，声波是唯一能够在海洋中进行远距离传输信息的能量形式。可以用于探测水中物体，如探测鱼群、潜艇等，也可用来测量海深。

利用声波雷达——声呐，可以探测出水下目标的方位和距离等信息。

主动声呐由简单的回声探测仪器演变而来，它主动地发射超声波，然后接收回波进行计算，适用于探测冰山、暗礁、沉船、海深、鱼群、水雷和关闭了发动机的隐蔽的潜艇。近期发生的马航MH370航班的搜寻工作牵动着全世界的神经，对声波信号分析处理的研究起到了至关重要的作用。

1 小波变换检测信号奇异性的优越性

傅立叶变换是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。傅立叶变换所用的基是专门挑选的，是正交的，也是利于计算系数的。

傅立叶所用的波是正弦波，有着无穷的能量，以同样的幅度在整个无穷大区间里面振荡。而小波是一种能量在时域非常集中的波，它的能量是有限的，而且集中在某一点附近。它对于分析瞬时时变信号非常有用。它有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。

对于一个直流信号用傅立叶级数将其展开，会发现形式非常简单：只有一个级数系数不是0，其他所有级数系数都是0。但是在这个直流信号上，增加一个突变，也就是中间有一个阶

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跃，如果再次让其傅立叶展开，所有的傅立叶级数都为非0了。因为傅立叶级数必须用三角波来展开信号，对于这种变化突然而剧烈的信号来讲，即使只有一小段变化，傅立叶级数也不得不用大量的三角波去拟合。

这种Gibbs现象是由于展开式在间断点邻域不能均匀收敛所引起的，即使在N趋于无穷大时，这一现象也依然存在。当变化太剧烈的时候，就需要大量的三角波来拟合。 傅立叶分析是对信号的总体统计， 不能标定发生变化的时间位置和发生变化的剧烈程度， 也就是说， 它对信号的局部畸变没有标定能力和度量能力，无法分析处理非平稳信号和实时信号。

小波函数提供了一种灵活的窗函数， 可实现时频窗宽随信号自适应变化， 最终满足时频分析的需要， 在时频两域都有表征信号局部特征的能力， 是一种窗口面积固定不变但其形状可改变， 时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率， 在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率， 所以被誉为分析信号的显微镜。从而避免了傅立叶变换、Gabor分析和短时傅立叶变换等在信号处理中的缺陷。

2 高斯函数及其1阶和2阶导数做为基函数 3 小波尺度a的选择

当a小于2的时候，小波变换的结果虽然在信号突变时刻有波动可以检测到突变信息，但是在回波信号的只包含正弦波的时间段内这三个小波变换结果会有比较明显的振荡正弦波，当a从2递减的时候，这种振荡正弦波更加明显，a越小则检测效果越差。

当小波尺度a大于或者等于6时，小波变换的结果只在信号突变时刻有波动，而在信号只包含正弦波的时间段内这三个小波变换结果几乎接近水平直线，这样可以检测出突变信息发生的时刻，所以小波尺度a的取值应该大于6。 但是在有其他频率正弦波引入的时刻却不能明显检测出来。实验表明：选取合适的小波尺度影响是明显的。

因为冲激函数的小波变换结果就是所选用小波的伸缩系，对比小波变换波形和图1（a）的1阶导数的形状，就可以知道这两个频道上的变换结果反映了信号的突变信息，冲激的位置主要由小波变换结果中的零交叉点（Zero-Crossings）决定。由图可见，以高斯函数的1阶和2阶导数为基函数的小波变换都成功地分离出了突变信息，但是在t=300时刻增加的一个六倍频率的正弦信号没有被检测出来。进一步可以使用Daubechies小波分 解进行检测。 4 Daubechies小波函数的检测效果比较

Daubechies系列小波简写为dbN，N表示阶数，db系列小波的支集长度和滤波器长度都为2N左右，消失矩为N。db小波函数和尺度函数具有以下特点：

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（1）小波函数Ψ（t）可以由尺度函数？准（t）求出来，？准（t）的长度有限，支撑域在t=0～（2N-1）范围内。

（2）尺度函数？准（t）和小波函数Ψ（t）满足二尺度方程。 （3）尺度函数？准（t）和小波函数Ψ（t）满足归一化条件。 （4）随着N的增大，尺度函数与小波函数的正则性都增强。

当N=1时，db小波就变成了Harr小波，除了Harr小波，其余的db小波 都没有明确的表达式，并且均为连续且是紧支撑的小波。

随着N的增大，db系列小波的小波函数和尺度函数的光滑性越好，在信号处理中，光滑性越好，其处理的效果一般也越好，而且它们可以有预知的连续导数，可以更好的满足信号处理的要求。从db4小波开始，db系列小波已经是完全光滑的了。

此处选用db6小波函数对信号进行2层分解，信号s=a2+d2+d1，其中高频分量d1在t=100、200、400时刻检测到有相应幅度的突变信息，而且在t=300时刻增加的一个六倍频率的正弦信号也相应地被检测出。（下转第9页） 【参考文献】

[1]Mallat S G， Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelet[M].IEEE Trans. On Information Theory， 1992，38（2）：617-643.

[2]I.Daubechies.Ten Leetures on Wavelets[M].SIAM ， PhialdelPhia，1992.

[3]李建平，小波分析与信号处理：理论、应用及软件实现[M].重庆出版社，1996，6-15. [4]徐长发，李国宽.实用小波方法[M].武汉：华中科技大学出版社，2004. [责任编辑：刘帅]