内容发布更新时间 : 2024/5/5 14:32:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
平面向量
一、平面向量的基本概念：
1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。
向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.
5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。
6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
????②a?b,b?c,则a?c；③a//b,b//c,a//c
④若AB?CD，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法：
1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.
（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC的取值范围__________ 例2.化简下列向量
（1）NQ?MN?QP?PM （2）(BP?BC)?(CQ?AB)?(PM?MB)
（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；
???a?b是以a，b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：
例1.（09 山东）设P是三角形ABC所在平面内一点，BC?BA?2BP，则 A.PA?PB?0 B.PA?PC?0 C.PC?PB?0 D.PA?PB?PC?0
例2.（13四川）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB?AD??AO ，则.??______ （3）多边形法则
2.向量的加法运算律：交换律与结合律
（二）向量的减法：
减法是加法的逆运算，A.BA?OA?OB?PA?PB （终点向量减始点向量）
.. ..
???a在平行四边形中，已知以a、b为邻边的平行四边形中，?b,a?b分别为平行四边形的两条对角线，当
??a?b?a?b例1.已知
时，此时平行四边形是矩形。
，且
?a?6,b?8??a?b?a?b，则
??a?b?a?b=______
，则例2.设点M是BC的中点，点A在线段BC外，BC=16，向量的加减运算：
AB?AC?AB?ACAM?____
例1.（08辽宁）已知O、A、B是平面内的三个点，直线AB上有一点C，满足CB+2AC=0，则OC=______ A.2OA-OB B.—OA+2OB C.
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→→→
2→1→1→2→
OA—OB D. —OA+OB
3333例2.(15课标全国I）设D是三角形ABC所在平面内一点，BC?3CD，则______
1414AD??AB?ACAD?AB?ACA. B. 33334141AD?AB?ACAD?AB?ACC. D. 3333例3.（12全国）在?ABC中，AB边上的高为CD,CB=a, CA=b,a?b=0, a?1,b?2,则AD=______ 例4.（10全国）在?ABC中，点D在边AB上，CD平分?ACB，若CB=a, CA=b,a?1,b?2，则CD=________
例5.在?ABC中，设D为边BC的中点, E为边AD的中点,若BE=mAB+nAC，则m+n=___
例6.（15北京理）在?ABC中，点M,N满足AM?2MC,BN?NC，若MN?xAB?yAC，则
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x?____y?_____
例7.（13江苏）设D、E分别是?ABC的边AB、BC上的点，若AD?+?2AC(?1,?2为实数)，则?1+?2=_________
例8.（12东北四市一摸）在?ABC中，设P为边BC的中点，内角A,B,C的对边a,b,c，若cAC+aPA+bPB=0，则?ABC的形状为________
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→
→→12AB,BE?BC，若DE=?1AB23.. ..
(三）实数与向量的积：
??1.定义：实数?与非零向量a的乘积?a是一个向量，它的长度是__________.它的方向是_________________________________________________________.当??0时，_______ 2.数乘向量的几何意义是把向量同方向或反方向扩大或缩小。
??3.运算律：设a、b是任意向量，?,?是实数，则实数与向量的积适合以下运算：
4.向量共线的判断：（平行向量的基本定理）
①如果a??b，则a//b；若a//b，b?0，则存在唯一的实数?，使得a??b.
??????b是两个不共线的非零向量，②若a、则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数?,?，使________.
?1?1????2 ③若a??1e1??1e2,b??2e1??2e2，e1,e2不共线，a//b，则在有意义的前提下，?2????例1.（15课标全国II）设向量若a、b是两个不平行的向量，向量?a?b与a?2b平行，则??____
例2.（09湖南）对于非零向量a,b,“a?b?0”是“a//b”的___ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例3.（12四川）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使
ab?成立的充分条件是 |a||b|A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
5.单位向量
???给定一个向量a，与a同方向且长度为1的向量叫做a的单位向量，即_______________ 重要结论：
已知?ABC，O为定点，P为平面内任意一点.
①PA+PB+PC=0?________________________?_______________________.
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1→→→
②若OP=OA+OB+OC，则P为?ABC__________________________
3③若OP=OA+?（AB+AC），??(0,??)，则P点的轨迹__________________. ④若OP=OA+?_________,??(0,??),则P点的轨迹通过?ABC的内心 ⑤若__________________________,则P点的轨迹是?ABC的外心 ⑥若__________________________,则P点的轨迹是?ABC的垂心
例1.（10湖北）在?ABC中，点M满足MA+MB+MC=0，若存在实数m，使得AB+AC=mAM，则m=________.
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