内容发布更新时间 : 2025/3/19 12:50:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

直角三角形（基础）

【学习目标】

1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．

2．掌握直角三角形的性质定理,并能灵活的应用性质定理解答和证明相关问题. 3. 掌握直角三角形的判定定理，并能灵活应用. 【要点梳理】

要点一、直角三角形的概念

有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.

要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 要点二、直角三角形的性质定理

定理1：直角三角形的两个锐角互余.

要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.

定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

定理3：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则

证明：取AB中点D，连接CD 则CD=BD=AD=

，

∵在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30° ∴∠B=60°，

∴△BCD为等边三角形 ∴

要点三、直角三角形的判定定理

定理1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.

定理2：在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD， 求证：△ABC是直角三角形． 证明：∵AD=CD， ∴∠A=∠1． 同理∠2=∠B．

∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形． 【典型例题】

类型一、直角三角形两锐角互余性质的应用

1、（2015春?秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． 求证：CD⊥AB．

【思路点拨】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案． 【解析】证明：∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B，

∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠ADC=90°， ∴CD⊥AB．

【总结升华】此题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出∠A+∠B=90°． 举一反三： 【变式】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C.

类型二、含有30°角的直角三角形

2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，求AB的长．

【思路点拨】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC的数量关系． 【答案与解析】

解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6， ∴AB=2BC=12．

【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形．含30°的直角三角形中，斜边等于30°角 的对边的2倍.

3、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然 后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．

【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．

【答案与解析】

解：∵∠ACB=15°，∠ADB=30°， ∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°， 即△CAD为等腰三角形， ∴AD=CD=13， 在△ADB中，∵AB⊥DB，∠ADB=30°， ∴AB=11AD=×13=6.5(m)． 22【总结升华】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，