内容发布更新时间 : 2024/12/23 2:52:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.9 设f?x??exp??x，??0，求 ??f?x???? 解：?exp(??x)???????f?x?dx??

?0???0??exp(?x)exp(?j2??x)dx??exp(??x)exp(?j2??x)dx

?2? ?2??(2??)2???exp(??x)dx?2??2?(2??)2???02?

1.10 设线性平移不变系统的原点响应为h?x??exp??x?step?x?，试计算系统对阶跃函数step?x?的响应.

解：由阶跃函数定义

step(x)??线性平移不变系统的原点响应为

h?x??exp??x?step?x??exp??x?,所以系统对解阶跃函数step?x?的响应为 g(x)?step(x)?h(x)??1,?0,x?0 得 x?0x?0

??0exp[?(x??)]d??1?exp(?x),x?0

1.11 有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为h1?x??sinc?x?和

h2?x??sinc?3x?.试计算各自对输入函数f?x??cos2?x的响应g1?x?和g2?x?.

解：

1.12 已知一平面波的复振幅表达式为

U(x,y,z)?Aexp[j(2x?3y?4z)] 试计算其波长λ以及沿x,y,z方向的空间频率。

解：设平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

U(x,y,z)?aexp(jk?r)?aexp[jk(xcos??ycos??zcos?)]

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由题可知，kcos??2,kcos???3,kcos??4

又因为cos2??cos2??cos2??1 所以k?波长为 ??29

2?2? ?k291cos?3cos?2,??? 2???沿x,y,z方向的空间频率为 ??cos????,????? 1.13 单色平面波的复振幅表达式为 U?x,y,z??Aexp?j???1??14x?214y???z?? 14??3求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率. 解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式

U(x,y,z)?aexp(jk?r)?aexp[jk(xcos??ycos??zcos?)] 由题可知，kcos??114,kcos??214,kcos??314

又因为cos2??cos2??cos2??1 所以k?1 波长为 ??2??2? k沿x,y,z方向的空间频率为 ??cos???12?14,??cos???1?14,??cos???32?14

第三章 光学成像系统的传递函数

3.1 参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前的相位因子

?k?k22?x0?y0?exp exp?j?j??2d0?2d0?????xi2?yi2??M2????? ????试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子 exp?j?k22?x0?y0?

2d0????相对于它在原点之值正好改变π弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和do之间存在什么关系

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时可以弃去相位因子

?k22?exp?jx0?y0? ?2d0???解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是

kro2k22 (xo?yo)???,ro??do

2do2do（2）根据

1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi??2?P(x,y)exp?j[(x?Mx)x?(y?My)y]??dxdyioio??????di?

???12?~~?2P(x,y)exp?j[(x?x)x?(y?y)y]??dxdyioio???dodi????di??相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点

(~xo,~yo)

1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi?2?22?~~?j[(xi?xo)?(yi?yo)]?dxdy????P(x,y)exp??di??

1~?1aJ1(2?a?)?r???2B?circ????2??dodi??a???dodi?式中r?x2?y2，而

2??yi?~yo??????di???xi?~xo22 ?????????di???? （1） ?2在点扩散函数的第一个零点处J1(2?a?o)?0，此时应有2?a?o?3.83，即 ?o?0.61 (2) a将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点(xi?yi?0)，于是得 ro?0.61?do (3) a （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献h(xo,yo;0,0)。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近

ro?0.61?do/a范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子exp[jkro2/2do]变化不

大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，

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则kro/2do?2?16,ro2??do/16，也即

a?2.44?do （4）

例如λ ＝600nm , do = 600mm，则光瞳半径a≥1.46mm，显然这一条件是极易满足的。

3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 t?xo,yo??11?cos2?foxo 22放在图3.1.1所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xoz平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f ,孔径为D。

（1） 求物体透射光场的频谱；

（2） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；

（3） 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ＝0时的截止频率比较，结论如何？

解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jkx0,sin?)，为确定起见设θ> 0，则物平面上的透射光场为

Uo(xo,yo)?Aexp(jkxo,sin?)t(xo,yo)?其频谱为

??A??sin??1sin???1sin??????expj2?x?expj2?xf??exp?j2?xf??????????ooooo??2?2????2???????????A(?,?)??{Uo(xo,yo)}

?A??sin??1?sin???1?sin???? ?????????f??????f??????????oo???2????2?????2??????由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sinθ/λ距离。

（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率

?c?D/4?f，于是要求

由此得

?fo?θ角的最大值为

?max?arcsin??此时像面上复振幅分布和强度分布为

sin???DDsin?D,???fo?? 4?f4?f?4?fDD?sin?? （1） 4f4f?D?4f??? （2） ? 8