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2019-2020学年高中数学 2.4.1向量的数量积（1）学案苏教版必修

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【学习目标】

1. 理解平面向量数量积的概念及其几何意义 2. 掌握数量积的运算法则

3. 了解平面向量数量积与投影的关系 【预习指导】

1. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则把数量_________________叫做向量a与。 b的数量积（或内积）

规定：零向量与任何一向量的数量积为_____________

2. 已知两个非零向量a与b，作OA?a，OB?b，则______________________叫做向量

a与b的夹角。

当??0时，a与b___________，当??180时，a与b_________；当??90时，则称a与b__________。 3. 对于a?b?000a?bcos?，其中_____________叫做b在a方向上的投影。

4. 平面向量数量积的性质

若a与b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，?是a与b的夹角，则：

①

a?e?e?a?a?cos?；

②a?b?0?a?b； ③

a?b?ab；

④若a与b同向，则a?b?2a?b；若a与b反向，则a?b??a?b；

a?a?a或a?a?a

⑤设?是a与b的夹角，则cos??a?bab。

5. 数量积的运算律

①交换律：________________________________ ②数乘结合律：_________________________ ③分配律：_____________________________

注：①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。

②、数量积得运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律。即

(a?b)?c 不一定等于a?(b?c) ，也不适合消去律 。

【典型例题选讲】

例1： 已知向量a 与向量b 的夹角为? ，a = 2 ，

b = 3 ，分别在下列条件下求

0（1）? = 135 ； （2）a ∥ b ； （3） a?b a?b：

例2：已知a = 4 ，b = 8 ，且a与b的夹角为120 。 计算：（1） (a?2b)?(2a?b) ；

（2） a?2b 。

例3：已知a = 4 ，b = 6 ，a与b的夹角为60 ，

求：（1）、a ? b （2）、a ? (a?b) （3）、(2a?b)?(a?3b)

00例4：已知向量a? e ，e =1 ，对任意t? R ,恒有a?te ? a?e ，则（ ） A、a ? e B、a? （a?e) C、e ? （a?e) D、（a?e)?(a?e)

【课堂练习】 1、 已知a = 10 ，

1b = 12 ，且(3a)?(b)??36 ，则a与b的夹角为__________

52、 已知a 、b 、c 是三个非零向量，试判断下列结论是否正确： （1）、若a?b?a?b，则a ∥ b （ ）

（2）、若a?c?b?c，则a?b （ ） （3）、若a?b?a?b，则a?b （ ） 3、已知a?b?0,

4、四边形ABCD满足AB = DC ,则四边形ABCD是（ ） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

5、正?ABC 边长为a ，则AB?AC?BC?CA?CA?AB?__________

【课堂小结】

a?2,b?3,(3a?2b)?(?a?b)?0，则??__________