内容发布更新时间 : 2024/5/7 22:37:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
数列的综合问题
【2019年高考考纲解读】
1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式. 2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围. 3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力． 【重点、难点剖析】 一、利用Sn，an的关系式求an 1．数列{an}中，an与Sn的关系
??S1，n＝1，an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
2．求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项
an.
(3)在已知数列{an}中，满足an＋1
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an. an(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 二、数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题． 三、数列的实际应用
用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果． 【高考题型示例】
题型一、 利用Sn，an的关系式求an
例1、已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
*
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. 解 (1)∵a2＝2，a3＋a5＝8，
∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N)． ∵bn＋1＝Sn＋2(n∈N)，① ∴bn＝Sn－1＋2(n∈N，n≥2)．②
由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N，n≥2)， ∴bn＋1＝2bn(n∈N，n≥2)． ∵b1＝2，b2＝2b1，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴bn＝2(n∈N)．
n*
*
*
**
*
anbn
【感悟提升】给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn. (1)求数列{an}的通项公式；
?an?
??的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值． log (2)若an>0，数列2
32??
解 (1)由已知a1an＝S1＋Sn，①
可得当n＝1时，a1＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2， 当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，② ①－②得a1(an－an－1)＝an.
若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0. 若a1＝2，则2(an－an－1)＝an，化简得an＝2an－1，
2
即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 故an＝2(n∈N)．
综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2. (2)因为an>0，故an＝2. 设bn＝log2
，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列， 32
nnn*
an由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小， 5(－4＋0)
最小值为T4＝T5＝＝－10.
2题型二 数列与函数、不等式的综合问题 例2、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－
x1＋λx.
1＋x(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
1111
(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋>ln 2.
23n4n(1)解 由已知可得f(0)＝0， ∵f(x)＝ln(1＋x)－
x1＋λx，
1＋x2
1－2λx－λx∴f′(x)＝，且f′(0)＝0. 2
1＋x①若λ≤0，则当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)≥f(0)＝0，不合题意； 1
②若0<λ<，
2
1－2λ则当0
λλ1－2λ∴当0
2
则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意． 1
综上，λ≥. 2
1
∴实数λ的最小值为.
2
1111111
(2)证明 由于a2n－an＋＝＋＋＋…＋＋＋，
4nn＋1n＋2n＋32n－12n4n