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“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，

C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）

42442

1．已知实数x，y满足：4－2＝3，y＋y＝3，则4＋y4的值为

xxx（ ）

（A）7 （B）

1＋13

2

（C）

7＋13

2

（D）5

2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若

两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是

5（A） 12

（ ）

4（B）

9

（C）

17 36

1（D） 2

（ ）

（C）10条

（D）12

3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确

定的不同直线最少有 （A）6条

（B）8条

4．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，

点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 （A）

5a 2

（B）1

（C）

3 2

（D）a

（ ）

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个

数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ） （A）2种

（B）3种

（C）4种

（D）5种

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

1

6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－有4

两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_______．

7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶

来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠

BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______．

9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．

2

2

AFB10．关于x，y的方程x＋y＝208(x－y)的所有正整数解为________．

三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）

11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交

1

DMC于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．

12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？

13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△

ABC？证明你的结论．

14．从1，2，?，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），

它们的和能被10整除，求n的最小值．

2

简答：

一． 选择题 ACBBD；

二． 填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.

16

； 10. x＝48， x ＝3

160，

y＝32； y＝32． 2b－b2

三．解答题：11. （1）k＝，b ＞ 2； （2）当 b＝2＋10， k＝－1时，△

2(b＋3)

OAB面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p，q. 当p＝2，q＝5时，1

方程2x2－5x＋ 2＝0 的两根为 x1＝， x2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三

2角形. △ABC的边 a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a，b 满足 2a?4?b?2?(a?3)b2?4?2a，则a?b等于（ ）． （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．

解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b?2?(a?3)b2?0，于是a?3，b??2，从而a?b＝1．

2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．

3

OA