内容发布更新时间 : 2024/11/15 3:03:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解：

1?x?x21?x?x2?2x2x1f(x)???1??1?2x(1?x)1?x?x21?x?x21?x?x21?x3

?1?2x(1?x)(1?x3?o(x3))?1?2x?2x2?2x4?o(x4)；

又由泰勒公式知x前的系数

★★4.求函数

3f???(0)?0，从而f???(0)?0。 3!f(x)?lnx按(x?2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论

n?1x2x3nx????(?1)?o(xn?1)。 ln(1?x)?x?23n?1方法一：（直接展开）f?(x)?f???(x)?2x3，

1111，f?(2)?；f??(x)??2，f??(2)??； x2x41(n?1)!(n)n?1(n?1)!，； f???(2)?；?,f(n)(x)?(?1)n?1f(2)?(?1)nn4x2将以上结果代入泰勒公式，得

f?(2)f??(2)f???(2)f(4)(2)23lnx?f(2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)4?1!2!3!4!f(n)(2)111?(x?2)n?o((x?2)n)?ln2?(x?2)?3(x?2)2?(x?2)3?? 3n!223?2?(?1)n?11(x?2)n?o((x?2)n)。 nn?2x?2x?21x?22)?ln2??() 22221x?231x?2nx?2n11?()???(?1)n?1()?o(())?ln2?(x?2)?3(x?2)2 32n2222113n?1?(x?2)???(?1)(x?2)n?o((x?2)n)。 3n3?2n?21★★5.求函数f(x)?按(x?1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。

x方法二：f(x)?lnx?ln(2?x?2)?ln2?ln(1?知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

1?1?x?x2?1?x方法一：f?(x)???xn?1(1??)n?2xn?1。

1x2，

f?(?1)??1；f??(x)?2x3，

f??(?1)??2；f???(x)??6x4，

f???(?1)??6?,f(n)(x)?(?1)n将以上结果代入泰勒公式，得

n!n!(n)nf(?1)?(?1)??n!； ，n?1n?1(?1)x1f?(?1)f??(?1)f???(?1)?f(?1)?(x?1)?(x?1)2?(x?1)3?x1!2!3!?f(n)

f(n?1)(ξ)(?1)n(x?1)n?1 (x?1)?(n?1)!n!23n(?1)n?1??1?(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?n?2(x?1)n?1（ξ介于x与?1之间）。

ξ方法二：

11????[1?(x?1)?(x?1)2?(x?1)3???(x?1)n x1?(x?1)(?1)n?1(?1)n?1n?123n?n?2(x?1)]??1?(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?n?2(x?1)n?1

ξξ（ξ介于x与?1之间）。

★★6.求函数

y?xex的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。

知识点：麦克劳林公式。

思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。f(x)中含有e时，通常利用已知结论

xx2xne?1?x?????o(xn)。

2!n!x方法一：y??(x?1)e，y?(0)?1；y???(x?2)e，y??(0)?2；?,yxx(n)?(x?n)ex，

y(n)(0)?n，将以上结果代入麦克劳林公式，得

f?(0)f??(0)2f???(0)3xe?f(0)??x?x?x?1!2!3!xf(n)(0)n?x?o(xn)

n!x3xnn?x?x???? ?o(x)。

2!(n?1)!2x2xn?1x3n?12????o(x))?x?x??? 方法二：xe?x(1?x?2!(n?1)!2!xxnn ?o(x)。 ?(n?1)!x2x31x?★★7.验证当0?x?时，按公式e?1?x?262计算e的近似值时，所产生的误差小于

x0.01，并求e的近似值，使误差小于0.01。

知识点：泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。

解：R3(x)?e4e4211111；x?x???0.01e?1????0.646。 428484!4!4!2192ξ12★★8.用泰勒公式取n?5，求ln1.2的近似值，并估计其误差。

f?(0)f??(0)2f(x)?f(0)?x?x?1!2!f(5)(0)5?x

5!；其

知识点：泰勒公式的应用。 解：设f(x)?ln(1?x)，则

x2x5????x?52误差为：

0.220.230.240.25????0.1823，从而ln1.2?f(0.2)?0.2?234510.266R5(x)??x??0.0000107。

66(1?ξ)6★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：

12x?1?x23232（1） lim(x?3x?x?x)； （2）lim2x???x?0(cosx?ex)sinx21? 。

知识点：泰勒展开式的应用。

思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。

31解：（1）lim(x?3x?x?x)?lim[x(1?2)3?x(1?)2]

x???x???xx3321111(?1)1311111?lim[x(1??2?o(2))]?x(1??(?)?22?2?o(2))]x???3x2x2xxx1911?lim(??o())?。 x???28xx2111?x2?1?x21?x2?(1?x2)222（2）lim?lim2x2x2x?0x?0(cosx?e)sinx(cosx?e)x21

11(?1)14121222x?o(x4)1?x?(1?x?)x4?o(x4)18222。 ?lim?lim??4x?0x?012x23x(1??o(x2)?(1?x2?o(x2)))x2??o(x4)22x2?ln(1?x)。 ★★10.设x?0，证明：x?2知识点：泰勒公式。

思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展

开的一部分时，可考虑用泰勒公式。

x2x3解：ln(1?x)?x??23(1?ξ)3x3（ξ介于0与x之间），∵ x?0，∴?0，

3(1?ξ)3，结论成立。

x2x3x2从而ln(1?x)?x???x?323(1?ξ)2（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）

★★11.证明函数

f(x)是n次多项式的充要条件是f(n?1)(x)?0。

知识点：麦克劳林公式。

思路：将f(x)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。 解：必要性。易知，若f(x)是n次多项式，则有f(n?1)(n?1)(x)?0。

充分性。∵

f(x)?0，∴f(x)的n阶麦克劳林公式为：

f??(0)x2f(x)?f(0)?f?(0)x?2!

f???(0)x3??3!f(n)(0)xnf(n?1)(ξ)xn?1f??(0)x2???f(0)?f?(0)x?n!(n?1)!2!(n)f???(0)x3f????3!★★★12.若

(0)xn，即f(x)是n次多项式，结论成立。

n!?f(n?1)(b)?0

f(x)在[a,b]上有n阶导数，且f(a)?f(b)?f?(b)?f??(b)?f(n)(ξ)?0(a?ξ?b)。

证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使

知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。 思路：证明f(n)(ξ)?0(a?ξ?b)，可连续使用拉格朗日中值定理，验证f(n?1)(x)在[a,b]上满足

罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据

f(x)在x?b处的泰勒展开式及已知条件得结论。

方法一：∵ f(x)在[a,b]上可导，且f(a)?f(b)，

∴由罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ1，使得∵

f?(ξ1)?0；

f?(x)在[ξ1,b]?[a,b]上可导，且f?(b)?0，

?(a,b)内至少存在一点ξ2，使得f??(ξ2)?0；

(n?1)∴由罗尔中值定理知，在(ξ1,b)依次类推可知，

f(n?1)(x)在[ξn?1,b] ?[a,b]上可导，且f(ξn?1)?f(n?1)(b)?0，

∴由罗尔中值定理知，在(ξn?1,b)?(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(n)(ξ)?0。

方法二：根据已知条件，f(x)在x?b处的泰勒展开式为：

f??(b)f(x)?f(b)?f?(b)(x?b)?(x?b)2?2!f(n?1)(b)f(n)(ξ)n?1?(x?b)?(x?b)n(n?1)!n!f(n)(ξ)?(x?b)n(x?ξ?b)，

n!∴

f(n)(ξ)(a?b)n?0，从而得f(n)(ξ)?0，结论成立。 f(a)?n!内容概要 名称 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 主要内容（3.4） 函数单调性的判别法：设（1）若在(a,b)内（2）若在(a,b)内y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则 f?(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上单调增加； f?(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上单调减少。 f(x)在区间I内连续，如果对I上任意两点x1,x2，恒有 1） 曲线凹凸性的概念：设f(x1?x2f(x1)?f(x2))?，则称f(x)在I22x1?x2f(x1)?f(x2))?，则称f(x)在I22上的图形是凹的；如果恒有 f(上的图形是凸的。 2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。 曲线凹凸性的判别法：设（1）若在(a,b)内（2）若在(a,b)内f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则 f??(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上的图形是凹的； f??(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上的图形是凸的。