内容发布更新时间 : 2024/12/26 10:44:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

23.4 一元二次方程的应用

情境切入

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完全解读

知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤

列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：

（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；

（4）解：求出所列方程的解；

（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

（6）答：写出答案．

友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题

（1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系；

（2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系；

（3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致．

例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 .

思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月平均涨价率为x，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x）（1+x）即50×（1—10%）×（1+x），由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。

解：设4、5月份两个月平均涨价率为x，由题意，得 50×（1—10%）×（1+x）=64.8。整理，得（1+x）=1.44. 解得：x1?0.2?20%,x2??2.2（不合题意，舍去）。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。

解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。

例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.

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思维点击：设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.

解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得

(60－2x) (40－2x) ＝800.

原方程可写成：x?50x?400?0. 解这个方程，得x1?10,x2?40.

如果截去的小正方形的边长为40厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为80厘米，这超过了长方形铁皮的长60厘米，因此x2?40不符合题意，应舍去。

答：截去正方形的边长为10厘米。

温馨提示：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.

范例探究

★基础思维探究

探究点1、与图形有关的问题

例1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用55米长的篱笆，围起一个面积为300m的矩形场地．组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长为多少？

思维点击：设与院墙垂直的边长为x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据矩形面积公式可列出方程式．

解：设与院墙垂直的边长为x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据题意得：

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2x?55?2x??300． 整理，得2x2?55x?300?0.

解方程，得x1?20,x2?15.

当x＝20，即与院墙垂直的边长为20米时，另一边长为20米，即与院墙平行的边长为15米．

当x＝15，即与院墙垂直的边长为15米时，另一边长为25米，即与院墙平行的边长为25米．由于校园的院墙长20米，20＜25，所以此解不合题意，应舍去．

答：与院墙垂直的边长为20米，与院墙平行的边长为15米． 温馨提示：若设与院墙平行的边长为x m，则与院墙垂直的边长为

55?xm ．根据矩2- 3 -