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第三章 直线与方程

1、直线倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母k表示,也就是 k = tanα。

①当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ②当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

当???0?,90??时，k?0，k随着α的增大而增大； 当???90?,180??时，k?0，k随着α的增大

而增大； 当??90?时，k不存在。

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

⑵过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k?y2?y1x?x(x1?x2)

21注意下面四点：

(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。

※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。 4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化）

①直线的点斜式方程：y?y0?k(x?x0)，k为直线的斜率，且过点?x0,y0?，适用条件是不垂直x轴。

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y?y0。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的

横坐标都等于x0，所以它的方程是x=x0。

②斜截式：y?kx?b， k为直线的斜率，直线在y轴上的截距为b

③两点式：

y?y1x?xy?1?x（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

2?y1x21第 1 页 共 5 页

④截矩式：xa?yb?1，其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：

Ax?By?C?0（A，B不全为0）

注意：①在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。 ②各式的适用范围 ③特殊的方程如： 平行于x轴的直线：y?b（b为常数）；平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； 5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （1）平行直线系

平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x?B0y?C?0（C为常数），所以平行于已知直线A0x?B0y?C0?0的直线方程可设：A0x?B0y?C?0,C?C0 垂直于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线方程可设：

B0x?A0y?C?0（C为常数）

（2）过定点的直线系 ①斜率为k的直线系：y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；

②过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为

?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数），其中直线l2不在直线系中。 6、两直线平行与垂直

（1）当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，

l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （2）当l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0时，

l1//l2?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0；l1?l2?A1A2?B1B2?0

例：设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) l1/ /l2 (2) l1⊥l2时，分别求出m的值 7、两条直线的交点

当l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交时，

A1x?B1y?C1?0交点坐标是方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0A．2 B．－2 C．4 D．1

4．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是( )． A．

方程组无解?l1//l2；方程组有无数解?l1与l2重合。

8. 中点坐标公式：已知两点P1 (x1，y1)、P2(x2，y2)，则线段的中点M坐标为(x1?x2y?y2，1)例：? 3 B．

2? 3 C．

? 4 D．

3? 45．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )． 22已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。

9、两点间距离公式：设A(x1,y1，（)B2x,）2是y平面直角坐标系中的两个点，则|AB|?(x222?x1)?(y2?y1)

10、点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l:Ax?By?C?0的距离为d?Ax0?By0?C

A2?B211、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。

（2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+CC2=0，则l1与l2的距离为d?1?C2

A2?B2一、选择题

1．若直线x＝1的倾斜角为 ?，则??( )． A．等于0 B．等于?

C．等于?2

D．不存在

2．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )． A．k1＜k2＜k3

B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1

D．k1＜k3＜k2

3．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，(第1)2、题()x

，6)，且l1∥l2，则x＝( )．

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A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )．

A．x＋y－5＝0

B．2x－y－1＝0 C．2y－x－4＝0

D．2x＋y－7＝0

7．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A．19x－9y＝0

B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝ 0

D．3x＋19y＝0

8．直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2 : (a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值

是( )．

A．3

B．－3

C．1

D．－1

9．将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，

此时直线l' 与l重合，则直线l' 的斜率为( )．

A．

aa＋1 B．－a1＋1a＋1 C．

a＋a D．－aa 10．点(4，0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是( )． A．(－6，8) B．(－8，－6)

C．(6，8)

D．(－6，－8)

二、填空题

11．已知直线l1的倾斜角 ?1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为 ．

12．若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(

12，m)共线，则m的值为 ．

13．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为 ．

14．求直线3x＋ay＝1的斜率 ．

15．已知点A(－2，1)，B(1，－2)，直线y＝2上一点P，使|AP|＝|BP|，则P点坐标为 ． 16．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是 ． 20．一直线被两直线l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．

(第19题)

17．若一束光线沿着直线x－2y＋5＝0射到x轴上一点，经x轴反射后其反射线所在直线的方程是 ．

三、解答题

18．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6(m∈R，m≠－1)，根据下列条件分别求m的值：

①l在x轴上的截距是－3；

②斜率为1．

19．已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的

14．求直线l的方程．

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21．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．