内容发布更新时间 : 2025/1/10 3:56:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2讲 等差数列及其前n项和
一、选择题 1．(2018·洛阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝( ) A．52 B．78 C．104 D．208 13（a1＋a13）解析：选C.依题意得3a7＝24，a7＝8，S13＝＝13a7＝104，选C.
22．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( ) A．12 B．13 C．14 D．15
5（a2＋a4）5（3＋a4）解析：选B.设{an}的公差为d，由S5＝?25＝?a4＝7，所以7＝
223＋2d?d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.
3
3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝( )
4A．－1 1C． 4
B．0 1D． 2
31
解析：选B.由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又因为a2a4＝，数列{an}单调递增，所以a2＝，
423a4－a21
a4＝.所以公差d＝＝.所以a1＝a2－d＝0.
2
2
2
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a6＋a7>0”是“S9≥S3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充要也不必要条件 解析：选A.法一：将它们等价转化为a1和d的关系式．a6＋a7>0?a1＋5d＋a1＋6d>0?2a1
9×8×d3×2×d＋11d>0；S9≥S3?9a1＋≥3a1＋?2a1＋11d≥0.
22
法二：a6＋a7>0?a1＋a12>0，
S9≥S3?a4＋a5＋…＋a9≥0?3(a1＋a12)≥0.
5．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( ) A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17 解析：选A.设{an}的公差为d， 因为a1＝29，S10＝S20，
10×920×19
所以10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
22
所以Sn＝29n＋n（n－1）
2
×(－2)＝－n＋30n＝－(n－15)＋225.
22
所以当n＝15时，Sn取得最大值． 6．(2018·张掖模拟)等差数列{an}中，的集合为( )
A．{1}
?1?C．?? ?2?
?1?B.?1，?
2???1?
D.?0，，1?
2??
an是一个与n无关的常数，则该常数的可能值a2n解析：选B.则
ana1＋（n－1）da1－d＋ndan1＝＝，若a1＝d，则＝；若a1≠0，d＝0，a2na1＋（2n－1）da1－d＋2nda2n2
?1?anan＝1.因为a1＝d≠0，所以≠0，所以该常数的可能值的集合为?1，?.
2?a2na2n?
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝________． 11解析：因为a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1
2＋a11)＝11a6＝99.
答案：99
1
8．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝
2________．
10092
解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，则a1
210550502
＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.
225
答案：10
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为________．
解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，数列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5，
所以a1＝3－m.
由Sm＝(3－m)m＋
m（m－1）
2
×1＝0，
解得正整数m的值为5. 答案：5
10．已知在等差数列{an}中，Sn＝33，S2n＝44，则这个数列的前3n项和S3n为________． 4433
－2nn3344S3n?n，?，?2n，?，?3n，?三点在同一条直线上，
解析：法一：由题意知，从而有??????n??2n??3n?2n－n?
S3n44－3n2n＝，解得S3n＝33.所以该数列的前3n项的和为33. 3n－2n法二：S3n＝3(S2n－Sn)＝3×(44－33)＝33. 答案：33 三、解答题
2*
11．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝an＋n－4(n∈N)． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
2
解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a1＋1－4，
2
即a1－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
2
当n≥2时，有2Sn－1＝an－1＋n－5，
2
又2Sn＝an＋n－4，
22
两式相减得2an＝an－an－1＋1，
2222
即an－2an＋1＝an－1，也即(an－1)＝an－1， 因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1. 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1. 而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1， 即an－an－1＝1，
因此数列{an}是首项为3，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2. 12．已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
??3a1＋3d＝－3，
由题意得?
?a1（a1＋d）（a1＋2d）＝8，????a1＝2，?a1＝－4，
解得?或?
??d＝－3，d＝3.??
所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4，2，不成等比数列； 当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1，2，－4，成等比数列，满足条件．
??－3n＋7，n＝1，2，
故|an|＝|3n－7|＝?
?3n－7，n≥3.?
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；
当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) （n－2）[2＋（3n－7）]3211＝5＋＝n－n＋10.
222当n＝2时，满足此式，当n＝1时，不满足此式． ?4，n＝1，
?
综上，Sn＝?3211
n－n＋10，n≥2.?2?2
1．(2018·洛阳第一次统一考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan*
＋1＝4Sn－3(n∈N)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2； (2)求数列{an}的通项公式．
1
解：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，所以a2＝. 2
2anan＋1＝4Sn－3，① 2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1. 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n为奇数时，an＝n.
11
数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，所以a2k＝＋2(k－1)
22
n，n为奇数??33
＝2k－，即n为偶数时，an＝n－.综上所述，an＝?3.
22n－，n为偶数??2
2．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝
Snn＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出
c的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，
2
所以a3，a4是方程x－22x＋117＝0的两实根，又公差d>0，所以a3 ???a1＋2d＝9，?a1＝1，?所以解得? ?a1＋3d＝13，?d＝4.?? 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3. (2)由(1)知a1＝1，d＝4， 所以Sn＝na1＋ n（n－1） 2 ×d＝2n－n， 2 2n－n所以bn＝＝， n＋cn＋c1615 所以b1＝，b2＝，b3＝，其中c≠0. 1＋c2＋c3＋c因为数列{bn}是等差数列，所以2b2＝b1＋b3， 即 61152×2＝＋，所以2c＋c＝0， 2＋c1＋c3＋cSn2 11所以c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－. 22 1 即存在一个非零实数c＝－，使数列{bn}为等差数列． 2