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吉林省东北师范大学附属中学高中数学 1.4.2生活中的优化问题

举例（2课时）教案 理 新人教A版选修2-2

例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8?r2分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获

利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

?r32?432 y?f?r??0.2??r?0.8?r?0.8???r?,0?r?6

3?3?令f??r??0.8?(r?2r)?0 解得 r?2（r?0舍去）

2当r??0,2?时，f??r??0；当r??2,6?时，f??r??0．

当半径r?2时，f??r??0它表示f?r?单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r?2时，f??r??0 它表示f?r?单调递减，即半径越大，利润越低． （1） 半径为2cm 时，利润最小，这时f?2??0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子

的成本，此时利润是负值．

（2） 半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r?3时，f?3??0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r?3时，利润才为正值．

当r??0,2?时，f??r??0，f?r?为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．

说明：

四．课堂练习

1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积1.8m） 5．课本 练习

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六．布置作业