内容发布更新时间 : 2024/11/15 3:19:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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3.3 幂函数

【选题明细表】

知识点、方法 幂函数概念、图象 幂函数性质及其应用 幂函数解析式 题号 2,6,7,9 3,4,6,10 1,5,8,10,11

1.(2018·北京海淀期末)若幂函数y=f(x)的图象经过点(-2,4),则在定义域内( C ) (A)为增函数 (B)为减函数 (C)有最小值 (D)有最大值

αα22

解析:设幂函数f(x)=x,由f(-2)=4,得(-2)=4=(-2),所以α=2,即f(x)=x,则在定义域内有最小值0,故选C.

2.(2018·重庆綦江联考)函数y=()的图象是( C )

-3

解析:函数y=()可化为y=x,当x=时,求得y=<,选项B,D不合题意,可排除选项B,D;当x=2时,求得y=8>1,选项A不合题意,可排除选项A,故选C. 3.下列函数中,其定义域和值域不同的函数是( D ) (A)y= (B)y=(C)y= (D)y=

-33

解析:y==,定义域、值域都为R,y=的定义域、值域也为R,y==定义域与值域都

为(0,+∞),D中y==小初高学习+K12

定义域为R,而值域为 [0,+∞).

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4.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)

解析:由幂函数f(x)=的性质,有0≤a+1<10-2a,所以-1≤a<3, 故选A. 5.(2018·山东烟台期中)幂函数f(x)=(m-4m+4)( D )

(A)1或3 (B)3 (C)2 (D)1 解析:由函数f(x)=(m-4m+4)f(x)=(m-4m+4)m=1满足条件,故选D. 6.已知幂函数y=

(m∈N+)的图象与坐标轴不相交,且关于y轴对称,则

2

2

2

在(0,+∞)为增函数,则m的值为

为幂函数,则m-4m+4=1,解得m=1或m=3.又函数

2

2

在(0,+∞)上单调递增,则m-6m+8>0,解得m>4或m<2,因此只有

m= .

解析:因为幂函数图象与坐标轴不相交,

2

所以m-2m-3≤0, 所以-1≤m≤3,

又m∈N+,所以m=1,2,3. 又因为函数为偶函数, 所以m=1或m=3. 答案:1或3

7.在同一坐标系内,函数y=x(a≠0)和y=ax-的图象可能是( C )

a

解析:当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的正半轴上,只有选项B适合;但此时函数y=x在(0,+∞)上是减函数,所以B不适合.

a

当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点(0,-),此点在y轴的负半轴上,只有选项A,C适合,此时函数y=x在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有选项C适合.故选C.

2m

8.(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m-m-1)x是幂函数,且图象与坐标轴无交点,则f(x)( B ) 小初高学习+K12

a

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(A)是偶函数 (B)是奇函数

(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值

2m2

解析:幂函数f(x)=(m-m-1)x的图象与坐标轴无交点,可得m-m-1=1,且m≤0,解得m=-1.则

-1

函数f(x)=x,所以函数是奇函数,在定义域上不是减函数,且无最值.故选B. 9.幂函数y=(m-m-1)

2

,当x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值为 .

解析:由m2

-m-1=1得m=2或m=-1, 又x∈(0,+∞)时为减函数,

则需m2

-2m-3<0, 所以m=-1舍去. 答案:2

10.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,). (1)求y=f(x)的解析式;

(2)判断y=f(x)在其定义域上的单调性,并加以证明. 解:(1)设f(x)=xα

,将(2,

)代入得,

=2α

,所以α=.

所以f(x)=.

(2)f(x)=在定义域[0,+∞)上为增函数. 证明如下:

任取x1,x2∈[0,+∞),且x1

-

=

=,

因为x1-x2<0,+

>0,所以f(x1)

在[0,+∞)上为增函数.

11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是减 (1)求函数f(x)的解析式;

(2)讨论g(x)=a-的奇偶性. 解:(1)因为f(x)=(m∈Z)是偶函数,

所以m2

-m-2为偶数. 小初高学习+K12

.

函数小初高学习+K12

又因为f(x)=

2

(m∈Z)在(0,+∞)上是减函数,

所以m-m-2<0,即-1

2

当m=0时,m-m-2=-2为偶数;

2

当m=1时,m-m-2=-2也为偶数,

-2

所以f(x)的解析式为f(x)=x.

(2)g(x)=a-=-bx,

所以g(-x)=+bx.

①当a≠0且b≠0时,g(x)为非奇非偶函数; ②当a=0且b≠0时,g(x)为奇函数; ③当a≠0且b=0时,g(x)为偶函数;

④当a=0且b=0时,g(x)既是奇函数又是偶函数.

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