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2001年天津市大学数学竞赛试题
(理工类)
一、填空:(本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。)
?e2x?1?,x?0;1. 函数f(x)??在(-∞,+∞)上连续,则a = 。 x2??acosx?x,x?0,2. 设函数y = y(x) 由方程ex?y?cos(xy)?0所确定,则dyx?0? 3. 由曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积A = 4. 设E为闭区间[0,4π]上使被积函数有定义的所有点的集合,则
?Ecosxsinxdx?
x2?y2?1,其周长为l ,则??xy?x2?4y2?ds? 。5.设L是顺时针方向的椭圆
L4
二、选择题:(本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分;选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。)
1. 若lim?(x)?u0且limf(u)?A,则( )
x?x0u?u0
(A) limf[?(x)]存在; (B) limf[?(x)]?A
x?x0x?x0(C) limf[?(x)]不存在; (D) A、B、C均不正确。
x?x02. 设f(x)??sinx0( ) sin(x2)dx,g(x)?x3?x4,则当x?0时,
(A)f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小; (B)f(x)与g(x)为等价无穷小; (C)f(x)是比g(x)更高阶的无穷小; (D)f(x)是比g(x)更低阶的无
穷小。
3. 设函数f(x)对任意x都满足f(x?1)?af(x),且f'(0)?b,其中a、b均为非零常数,则f(x)在x = 1处( )
(A)不可导; (B)可导,且f?(1)?a; (C)可导,且f?(1)?b; (D)可导,且f?(1)?ab。 4. 设f(x)为连续函数,且f(x)不恒为零,I=t?st0f(tx)dx,其中s > 0,t > 0,则I
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的值( )
(A)与s和t有关; (B)与s、t及x有关; (C)与s有关,与t无关; (D)与t有关,与s无关。
?2u?0及5. 设u (x,y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且满足
?x?y?2u?2u。 ??0,则( )
?x2?y2
(A)u (x,y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部; (B)u (x,y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上;
(C)u (x,y) 的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上; (D)u (x,y) 的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上。
以下各题的解答写在试题纸上,可以不抄题,但必须写清题号,否则解答将被视为无效。
三、求极限limx?0cosx?e 。(本题6分) 2x[2x?ln(1?2x)]?x22解:
。
四、计算解:
??1?e?0??xe?x?x2(本题6分) dx。
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?2u?2u五、设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续,?2且u(x,2x)?x,2?x?yu'1(x,2x)?x2,求u11''(x,2x)。(本题6分) 解:
六、在具有已知周长2p的三角形中,怎样的三角形的面积最大?(本题 解:
7分)