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2001年天津市大学数学竞赛试题

（理工类）

一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）

?e2x?1?，x?0；1. 函数f(x)??在（-∞，+∞）上连续，则a = 。 x2??acosx?x，x?0，2. 设函数y = y(x) 由方程ex?y?cos(xy)?0所确定，则dyx?0? 3. 由曲线y??x3?x2?2x与x轴所围成的图形的面积A = 4. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则

?Ecosxsinxdx?

x2?y2?1，其周长为l ，则??xy?x2?4y2?ds? 。5．设L是顺时针方向的椭圆

L4

二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）

1. 若lim?(x)?u0且limf(u)?A，则（ ）

x?x0u?u0

（A） limf[?(x)]存在； （B） limf[?(x)]?A

x?x0x?x0（C） limf[?(x)]不存在； （D） A、B、C均不正确。

x?x02. 设f(x)??sinx0（ ） sin(x2)dx，g(x)?x3?x4，则当x?0时，

（A）f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小； （B）f(x)与g(x)为等价无穷小； （C）f(x)是比g(x)更高阶的无穷小； （D）f(x)是比g(x)更低阶的无

穷小。

3. 设函数f(x)对任意x都满足f(x?1)?af(x)，且f'(0)?b，其中a、b均为非零常数，则f(x)在x = 1处（ ）

（A）不可导； （B）可导，且f?(1)?a； （C）可导，且f?(1)?b； （D）可导，且f?(1)?ab。 4. 设f(x)为连续函数，且f(x)不恒为零，I=t?st0f(tx)dx，其中s > 0，t > 0，则I

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的值（ ）

（A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关； （C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。

?2u?0及5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足

?x?y?2u?2u。 ??0，则（ ）

?x2?y2

（A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。

以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。

三、求极限limx?0cosx?e 。（本题6分） 2x[2x?ln(1?2x)]?x22解：

。

四、计算解：

??1?e?0??xe?x?x2（本题6分） dx。

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?2u?2u五、设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，?2且u(x,2x)?x，2?x?yu'1(x,2x)?x2，求u11''(x，2x)。（本题6分） 解：

六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题 解：

7分）