内容发布更新时间 : 2024/11/20 21:38:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《初等数论》教学大纲

第一部分 大纲说明

一、课程的作用与任务

“初等数论”课程是数学与应用数学专业的一门选修课。数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。

通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。 二、课程的目的与要求

初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。

通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。 三、教学要求

有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。

第二部分 学时按排

一、学时和学分

1、本课程共72学时，学时分配为： 章号 内容 学时 12 12 备注 1 整数的整除性理论 2 不定方程 3 一元同余理论 4 平方剩余与原根 5 简单连分数 合计 18 18 12 72 2、学分

本课程共3学分。 二、教学环节

第三部分 教学内容与要求

一、整数的整除性理论（12学时） （一）教学内容

1、整除性、公因数、公倍数

两个整数整除的概念、剩余定理；最大公因子的概念、性质及求最大公因子的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。 2、素数与整数的素因子分解

素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法（筛法）。

3、函数[x]、{x}及其应用

函数[x]与{x}的概念、性质、n!的素数分解、组合数为整数的性质。 4、抽屉原理

抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应用。

重点：整除、公因子、素数的概念及性质，剩余定理，求最大公因子的方法，整数的素数分解定理。

难点：函数[x]、{x}的概念及其应用。 （二）教学基本要求

1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。

2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。

3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。

二、不定方程（12学时） （一）教学内容

1、二元一次不定方程

二元一次不定方程的形式，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。 2、多元一次不定方程

多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的解。 3、不定方程

的整数解，

不定方程的整数解的形式，求形如Fermat大定理的简单介绍。

重点：二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。 难点：不定方程数解。

（二）教学基本要求

1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。

2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。 3、知道不定方程整数解。

的整数解的形式，会求形如

的

的整数解的形式，求解形如

的整

三、一元同余理论（18学时） （一）教学内容

1、同余的概念及性质

整数同余的概念、同余的基本性质，整数具有素因子的条件，利用同余简单验证整数乘积运算的结果。 2、剩余系、完全剩余系

剩余系、完全剩余系的概念，判断剩余系的方法，欧拉函数的定义及性质。 3、欧拉定理及其应用

欧拉定理、Fermat小定理，循环小数的判定条件。 4、一次同余式

同余式的定义，一次同余式有解的条件，求解同余式。 5、中国剩余定理

中国剩余定理，中国剩余定理的应用，求解同余式方程组。 6、高次同余式

判断高次同余式的解个数，解高次同余式的方法，模整数同余式与模素数同余式的关系，求解简单的（3、4次）同余式。 7、素数模的高次同余式

素数模同余式的次数化简，Wilson定理，同余式的次数与解数的关系，n次同余式有n个解的条件。

重点：剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理，求解三次以下的同余式。

难点：剩余系的判定，中国剩余定理，模整数同余式与模素数同余式的关系。 （二）教学基本要求

1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。

2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。

3、了解欧拉定理、Fermat小定理，掌握循环小数的判定方法。

4、理解同余式的定义，掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握求解一次同余式。

5、理解中国剩余定理，掌握中国剩余定理的简单应用，掌握求解简单同余式方程组的方法。

6、了解高次同余式解的个数的判断方法，知道解高次同余式的方法，了解模整数同余式与模素数同余式的关系，掌握求简单的（3、4次）同余式解的方法。

7、了解素数模同余式的次数化简、Wilson定理，了解同余式的次数与解的个数的关系，知道n次同余式有n个解的条件。 四、平方剩余与原根（18学时） （一）教学内容 1、二次同余式

二次同余式的一般形式，模整数同余与模素数幂同余的关系，平方剩余与平方非剩余的概念。 2、单素数的平方剩余

单素数的平方剩余与平方非剩余的欧拉判定法，单素数的平方剩余与平方非剩余的个数。

3、Legendre、Jacobi符号

Legendre符号的定义、性质，Jacobi符号的定义、性质，利用Legendre和Jacobi符号判断同余式的解的存在性。 4、非素数模的二次同余式

非素数模的二次同余式有解的条件及解的个数。 5、素数的平方和分解 对素数p讨论不定方程 6、阶数

有整数解的条件。