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吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也；吾尝跂而望矣，不如登高之博见也。登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试
高三年级数学试卷（理工类）
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知全集U?R，集合A?x2x?1，B?xx?2?0，则(eUA)A． {x|x?2} B． x0?x?2 C． {x|0?x?2} D． {x|x?2} 2．在复平面内，复数
????B?
??2对应的点位于 1?iA．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是
2A．y?cosx B．y??x C． y?() D． y?|sinx|
12x4．若a?0，且a?1，则“函数y?a在R上是减函数”是“函数y?(2?a)x 在R上是增函数 ”的
A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是 A．6 B．8 C．10 D．12 6．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角 三角形，则该四棱锥的体积为
2 x3A．224B．
3 3
1 1 正视图
侧视图
C．2 D．4
俯视图
吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也；吾尝跂而望矣，不如登高之博见也。登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。
7．在Rt?ABC中，?A?90?，点
D是边BC上的动点，且AB?3，
AC?4,AD??AB??AC(??0,??0)，则当??取得最大值时,AD的值为
A．
7 2B．3 C．
5 2D．
12 58．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是
A．23 B． 20 C． 21 D．19
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
x2y2?2?1(b?0)的一条渐近线方程为3x?2y?0，则b等于 ． 9．已知双曲线
4b10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1?2，S2?a3， 则a2= ，S10? ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为 ．
12．在△ABC中，已知?B?45?,AC?开始 S?0,i?1 i?6? 是 否 i?i?2 2BC，则?C? ． 输出S S?S?2i 结束 ?x?y?0,13．设D为不等式组?对于区域D内除原点外的任一点A(x,y)，则2x?y?x?y?0,表示的平面区域，
?x+3y?3?的最大值是_______；x?yx?y22的取值范围是 ．
14．若集合M满足：?x,y?M，都有x?y?M,xy?M，则称集合M是封闭的．显然，整数集
Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M?R），f：M?M是从集合M到集合M的一个函数，
①如果?x,y?M都有f(x?y)?f(x)?f(y)，就称f是保加法的； ②如果?x,y?M都有f(xy)?f(x)?f(y)，就称f是保乘法的；
吾尝终日而思矣，不如须臾之所学也；吾尝跂而望矣，不如登高之博见也。登高而招，臂非加长也，而见者远；顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的． 在上述定义下，集合
?3m?nm,n?Q 封闭的（填“是”或“否”）；若函数f(x) 在
?Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f(x)= ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
2已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?1．
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值． 6416．（本小题满分13分）
甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同
学参加较为合适？并说明理由；
（Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数
为?（将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率），求?的分布列及数学期望E?．
17．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中， 四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为直角梯形，且
E
AF//BE,AB?BE,平面ABCD平面ABEF?AB,
F AB?BE?2AF?2.
（Ⅰ）求证：AC//平面DEF； （Ⅱ）若二面角D?AB?E为直二面角， （i）求直线AC与平面CDE所成角的大小；
（ii）棱DE上是否存在点P，使得BP?平面DEF?
若存在，求出
D
A B
C
DP的值；若不存在，请说明理由． DE