内容发布更新时间 : 2024/5/10 16:43:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ?x?y?z?2?0?且（1）母线平行于x轴；（2）母线平行于直线x?y,z?c，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程
?(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2?0中消去x，得到：(z?y?3)?(y?3)?(z?2)?25 即：y2?z2?yz?6y?5z?此即为要求的柱面方程。
2223?0 2?x?y
（2）取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0且平行于直线?的直线方程为：
z?c?
?x?x0?t??y?y0?t?z?z0?而M0在准线上，所以
??x0?x?t??y0?y?t ?z?z?0?(x?t?1)2?(y?t?3)2?(z?2)2?25 ??x?y?z?2t?2?0222上式中消去t后得到：x?y?3z?2xy?8x?8y?8z?26?0
此即为要求的柱面方程。
2
而M0在准线上，所以：
?x?t?y2?(z?2t)2 ??x?t?2(z?2t)222消去t，得到：4x?25y?z?4xz?20x?10z?0
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线x?y?z,x?1?y?z?1,与x?1?y?1?z?2的圆柱面方程。
解：过
1,1,1?的直线方程为： 又过准线上一点M1(x1,y1,z1)，且方向为??x?x1?t??y?y1?t?z?z?t1?将此式代入准线方程，并消去t得到：
??x1?x?t??y1?y?t ?z?z?t?15(x2?y2?z2?xy?yz?zx)?2x?11y?13z?0
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为?(u)??x(u),y(u),z(u)?，母线的方向平行于矢量S??X,Y,Z?，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
x?Y(u)?vS
与
?x?x(u)?Xv??y?y(u)?Yv ?z?z(u)?Zv?式中的u,v为参数。
证明：对柱面上任一点M(x,y,z)，过M的母线与准线交于点M?(x(u),y(u),z(u))，则，
M?M?vS
即
21、求顶点在原点，准线为x?2z?1?0,y?z?1?0的锥面方程。
解：设为锥面上任一点M(x,y,z)，过M与O的直线为：
XYZ?? xyz设其与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt，将它们代入准线方程，并消去参数t，得：
x2?2z(z?y)?(z?y)2?0
222即：x?y?z?0
此为所要求的锥面方程。
2222、已知锥面的顶点为(3,?1,?2)，准线为x?y?z?1,x?y?z?0，试求它的方程。
解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
X?3Y?1Z?2?? x?3y?1z?2令它与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使
?X0?3?(x?3)t??Y0??1?(y?!)t ?Z??2?(z?2)t?0将它们代入准线方程，并消去t得：
3x2?5y2?7z2?6xy?2yz?10xz?4x?4y?4z?4?0
此为要求的锥面方程。 4、求
对锥面上任一点M(x,y,z)，过M与顶点O的母线为：
XYZ?? xyz令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0?xt,Y0?yt,Z0?zt，将它们代入准线方程，并消去t得：
xy?yz?zx?0
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为(1,2,4)，轴与平面2x?2y?z?0垂直，且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：
x?1y?2z?4 ??221过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为：
2(x?3)?2(y?2)?(z?1)?0
即： 2x?2y?z?11?0 该平面与轴的交点为(112037,,)，它与(3,2,1)的距离为： 999112037116d?(?3)2?(?2)2?(?1)2?
9993?要求圆锥面的准线为：
的径矢为?0??x0,y0,z0?，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
??v?(u)?(1?v)?0
与
?x?vx(u)?(1?v)x0??y?vy(u)?(1?v)y0 ?z?vz(u)?(1?v)z0?式中，u,v为参数。
证明：对锥面上任一点M(x,y,z)，令OM??，它与顶点A的连线交准线于，即M??(x(u),y(u),z(u)OM???(u)。
AM//AM?，且AM??0（顶点不在准线上） ?AM?vAM?
即???0?v(?(u)??0) 亦即??v?(u)?(1?v)?0
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：
{x,y,z}?v{x(u),y(u),z(u)}?(1?v){x0,y0,z0}
?x?vx(u)?(1?v)x0???y?vy(u)?(1?v)y0 ?z?vz(u)?(1?v)z0?此为锥面的坐标式参数方程，u,v为参数。
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
x?1y?1z?1xyz?1绕?旋转 ???1?121?12xyz?1xyz?1（2）；??绕?旋转 ?211?1?12x?1yz（3）??绕z轴旋转；
1?33（1）；
2??z?x（4）空间曲线?绕z轴旋转。
22??x?y?1解：（1）设M1(x1,y1,z1)是母线
x?1y?1z?1上任一点，过M1的纬圆为： ??1?12?(x?x1)?(y?y1)?2(z?z1)?0?222222?x?y?(z?1)?x1?y1?(z1?1)因M1在母线上， ?(1)(2)
x1y1z1?1 (3) ??21?1从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
5x2?5y2?23z2?12xy?24yz?24xz?24x?24y?46z?23?0
此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过该点的纬圆为：
?z?z1?222222x?y?z?x?y?z?111又M1在母线上，所以：
(1)(2)
x1?1y1z1?? （3） 1?33从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
9(x2?y2)?10z2?6z?9?0
此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为：
?z?z1?222222?x?y?z?x1?y1?z1又M1在母线上，所以
2??z1?x1?22??x1?y1?1(1)(2)
(1)(2)
从（1）——（3）消去x1,y1,z1，得到：
x2?y2?1
z?z1?x12?1?0?z?1
22即旋转面的方程为：x?y?1 (0?z?1 )2、将直线
x??y??z?绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就?,?可能的值讨论这是什01么曲面？
解：先求旋转面的方程式：