内容发布更新时间 : 2025/1/3 16:04:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2．2.4 旋转变换

[对应学生用书P14]

1．旋转变换

将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换．其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角．

2．旋转变换矩阵 像?

?cos θ －sin θ?

?这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．

?sin θ cos θ?

旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．

[对应学生用书P14]

[例1] 在直角坐标系xOy内，将每个点绕原点O按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．

(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象A′.

[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解． [精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：

?－ysin 135°?x′＝xcos 135°?，该变换对应的矩阵为： ?y′＝xsin 135°＋ycos 135°?

点在旋转变换作用下的象

22

－ －??22 －sin 135°?cos 135°?＝. ?????sin 135°? cos 135°22

－?22?(2)由(1)知，当x＝4，y＝8时， x′＝－62，y′＝－22，

所以点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为 A′(－62，－22)．

?cos θ －sin θ?

由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵??是解决这类问题的关键．逆时针

?sin θ cos θ?

旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．

22 －??22?－1 0??0 －1?

1．求出△ABC分别在M＝?对应的变?，M＝??，M＝???1 0?? 0 －1?22

?22?1

2

3

换作用下的图形这里A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)．

解析：在M1下，A→A′(0,0)，B→B′(－2,0)，C→C′(－1，－1)． 在M2下，A→A″(0,0)，B→B″(0,2)，C→C″(－1,1)． 在M3下，A→A图形分别为

(0,0)，B→B(2，2)，C→C

(0，2)．

2．在直角坐标系xOy内，将每个点绕坐标原点O按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A(－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A′的坐标．

解：由题意得旋转变换矩阵为

?cos?－60°?

?

?sin?－60°? ?

13

??－sin?－60°??

?＝22， ?? cos?－60°???－3 1?22?

3x＋y?x′＝122

故对应的坐标变换公式为?

31

y′＝－x＋y?22

.

?x′＝－2

令x＝－1，y＝0得?3

y′＝?2

1

.

13

所以所求的点A′的坐标为?－，?.

?22?

[例2] 已知曲线C：x2＋y2＝2，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C′的方程．

[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程． [精解详析] 旋转变换对应的矩阵 －sin 60°?cos 60°?M＝??＝??sin 60°? cos 60°3

曲线在旋转变换作用下的象 ?

?

?， 1

?2 2?

′

′

13 －22

设P(x0，y0)为曲线C上任意的一点，它在矩阵M对应的变换作用下变为P′(x0，y0)． 3 －??122x??x??则有?? ??＝??， 31?y??y??2 2?

′

00

00

′

?x＝2?x故?1

y＝?2?y

00

1

′

0

′

＋3y0?，

3x0?.

′

′

0－

因为点P(x0，y0)在曲线C：x2＋y2＝2上， 所以x0 2＋y0 2＝2，

1′1′′′

?x0＋3y0??2＋??y0－3x0??2＝2， 即 ??2??2?

22

∴x 0＋y 0＝2.

′

′

从而曲线C′的方程为x2＋y2＝2.