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初 三 数 学（第9讲）

主讲教师：李跃华（苏州立达中学）

【教学内容与目的要求】

第23章 圆 §23.2与圆有关的位置关系 (一)

教学目的：

1、掌握点与圆、直线与圆的位置关系。

2、掌握直线和圆的三种位置以及位置关系的判定和性质。

3、通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的学习，培养综合运用圆有关方面知识的能力． 4、培养用运动变化的观点，去观察图形，研究问题的能力。

5、渗透类比、分类、化归、数形结合的思想，指导相应的学习方法，不仅学会数学，而且会学数学。 【知识重点与学习难点】

1、重点：掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定

2、难点：如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r，并加以比较直线和圆的三种位置关系。 【方法指导与教材延伸】

1、点与圆的位置关系：

每一个圆都把平面上的点分成三类，即（1）点在圆内；（2）点在圆上；（3）点在圆外。 点和圆的位置关系是由这个点到圆的距离与半径的数量大小关系决定的， 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则:

点在圆内

点在圆上

点在圆外

dr

注：（1）\是由已知点与圆的位置关系确定d与r的大小关系； \是由已知d与r的数量关系判断点与圆的位置关系。 （2）符号“ “A

”读作“等价于”

B”具有两方面的含义：一方面表示A=>B,由条件A推出结论B的因果关系；另一方面表

示B=>A，由条件B推出结论A的因果关系。 2、直线和圆相交、相切、相离的概念：

当直线由远而近对圆(或圆由远而近对直线)作相对运动时，会得到直线与圆的三种不同位置关系：

1

①直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离；

②直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。 ③直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

①相离 ②相切 ③相交

说明：直线和圆相切是指直线和圆有一个并且只有一个公共点。与“有一 个公共点”的含义是不同的。要避免出现“直线和圆有一个公共点时叫做直线和圆相切”的错误。 3．直线和圆的位置关系的性质和判定：

根据直线和圆相交、相切、相离的定义结合图形(2)容易看出如果⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，那么会有下面的结论： ①直线l和⊙O相交 ②直线l的⊙O相切 ③直线l和⊙O相离

d＜r； d＝r； d＞r。

(1)直线l和⊙O相交 (2)直线l的⊙O相切 (3)直线l和⊙O相离

上面三个命题的左边反映的是两个图形的位置关系，右边反映的是圆心到直线l的距离与圆的半径这两个数量的大小关系。因而它们既可作为直线与圆的各种位置关系的判定，又可以作为圆与直线位置关系的性质，换句话说直线和圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分。也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分。它们是一致的。从下表中可清楚了解这种相互依从关系：

直线和圆的位置 公共点个数 圆心到直线距离d与半径r的关系 公共点名称

相交 2 d＜r 相切 1 d＝r 相离 0 d＞r 交点 2

切点 无

直线名称 图形 割线 切线 无 说明： 根据直线与圆相交的定义，用直尺(或三角形板)在纸上移动，靠眼睛观察。当它与圆只有一个公共点时，画出直线，即为已知圆的切线。 【例题选讲】

例1、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。 已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。 求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上。

证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，垂足为O，且AB＝BC＝CD＝DA M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点 ∴OM＝ON＝OP＝OQ＝

1AB 2 ∴根据圆的定义可知：M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上。 例2、若Rt△ABC的三个顶点A、B、C在⊙O上，

求证：Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心。 证明：∵△ABC是直角三角形，AB是斜边 ∴取AB中点M，则MC＝MA＝MB 又∵OA＝OB＝OC ∴ O是AB中点

故M与O重合，即AB的中点是⊙O的圆心。

例3、如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝x，⊙O的半径为1， 问：当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交。

分析：由于直线与圆的位置关系取决于圆心到直线的距离d与圆的半径r间的数量关系，所以作OD⊥AC于D，分别由AC与⊙O相离、相切、相交可得知相应的OD与⊙O半径r间的关系式，从而求出x的范围。 解：作OD⊥AC于D，

在Rt△ABC，∠C＝90°∠B＝60°，∴∠A＝30°∴OD＝

11AO＝x 22 3