内容发布更新时间 : 2024/11/9 10:46:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

提公因式法分解因式中的数学思想

众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，特别是提公因式法分解因式时，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就提公因式法因式分解中的常见的思想方法举例说明：

一、整体思想

所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.

例1 把(y－5)－y(y－5)分解因式

分析:把(y－5)看作一个整体利用提公因式法进行因式分解. 解:原式＝(y－5)[ (y－5)－y]＝－5 (y－5).

评注 整体思想是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略.运用整体思想解题，能使不少复杂的问题简单化，抽象的问题具体化.

二、类比思想

类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比.

例2 把多项式6xy+12xy－6xy分解因式.

分析 类比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公约数是6，字母x、y最低指数均为2，所以多项式6xy+12xy－6xy的公因式是6xy，这样再逆用乘法的分配律即可分解因式.

解 6xy+12xy－6xy＝6xy(x+y－1).

评注 求解问题若能通过类比，可使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化. 三、转化思想

转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行.

例3 把多项式6x(x－y)＋3(y－x)分解因式.

分析 考虑(y－x)＝－(x－y)则多项式转化为6x(x－y)?3(y－x)，因此公因式是

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3 2

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3(x－y).

解 6x(x－y)＋3(y－x)＝6 x(x－y)－3(x－y)

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3

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3

2

1

＝3(x－y)[2 x－(x－y)]＝3(x－y)(x + y).

评注 利用转化思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法。在学习过程中，遇到不熟悉的数学问题时要善于分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法，将之转化为熟悉问题来解决.

四、换元思想

所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式.

例4 把多项式x(x+1)+x(x+1)+x(x+1)+x+1分解因式.

分析 这个多项式形式上比较复杂，若从整体上展开还是有一定的难度，但考虑x+1重复出现，利用这一特点，可以将这个因式通过换元后再分解因式.

解 设x+1＝a，则x(x+1)+x(x+1)+x(x+1)+x+1＝xa+xa+xa+a 3

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3

2

3

2

22

＝a(xa2+xa +a)＝a·a·(xa+a)＝a·a·a·a＝a4＝(x+1)4.

评注 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.

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