内容发布更新时间 : 2024/11/7 18:00:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1-1 一质点在xy平面内运动，在t?0 s时 它的位置矢量r??(?4?i?5?j)m，经Δt?5s后，其位移Δr??(6?i?8?j)m，求：(1) t?5 s时的位矢；(2)在Δt时间内质点的平均速度．

解 （1）据题意，在t??t时刻，该质点的位矢为

r1?r??r?(?4i?5j) m?(6i-8j) m?(2i?3j) m

（2）在Δt时间内质点的平均速度为

v??r?t?6i?8j5 m/s?(1.2i-1.6j) m/s

1-3 已知质点运动方程为?r?Rcost?i?Rsint?j?2tk?，R为常量。求，t=0及

t??2时质点的速度和加速度。

解：（1）

r??Rcost?i?Rsint?j?2tk?,v??dr?dt??Rsint?i?Rcost?j?2k?, ?a??dvdt??Rcost?i?Rsint?j当t=0时，

v??R?j?2k?, a???R?i, vx?0,vy?R,vz?2, ax??R,ay?az?0当t=π/2时，

v???R?i?2k?, a???R?j, vx??R,vy?0,vz?2,ax?0,ay??R,az?0

1-6 在铅直平面内运动的质点，其运动方程为r??5t?i?(15t?5t2)?j，求t=1秒时的法向加速度、切向加速度。 解：v??5?i?(15?10t)?j，v?52?(15?10t)2 a???10?j ，a?10， a?dvtdt?52

而a2?a22n?at ，故an?52

因此v???1?5i，???v??5j12?1v??i?2?j 122a?(a??????5?j ，a?????t?1)?1??5i?n?a?at?5i?5j

1-7 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当轮船停航时，甲板上干湿

两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 m·s-1

，求轮船的速率． 解： 依题意作出矢量图

∵ v???雨船?v雨?v船 ∴ v???雨?v雨船?v船

由图中比例关系可知

v船?v雨?8m?s?1 矢量图

2-1 质量为0.5kg的物体沿x轴作直线运动，在沿x方向的力F?10?6t的作用下，t = 0时其位置与速度分别为x0 =5，v0 =2，求t = 1时该物体的位置和速度．（其中F以N为单位，t以s为单位，x0以m为单位，v0以m/s为

单位）

分析 当作用于物体的力是时间的函数时，由建立的运动方程积分可以求得速度．所求出的速度必定也是时间的函数，当还需要计算t时刻该物体的位置时，就应该利用速度的定义式v?dxdt，再积分求出位置的表示式． 解 由加速度的定义a?dvdt，应用牛顿第二定律，可得 dvF10dt?m??6t0.5?20?12t 分离变量：

dv?(20?12t)dt

两边积分得

v?20t?6t2?C

由初始条件：t = 0时v=v0 =2，得C?v0?2，即

v?20t?6t2?2 (1)

因v?dxdt，上式可写为 dxt?20t?6t2d?2 分离变量：

dx?(20t?6t2?2)dt

两边积分得

x?10t2?2t3?2t?C1

由初始条件：t = 0时x=x0 =5，得C1?x0?5，即

v?mv1050?2? m/s?0.4 m/s

m?m?50?200x?10t2?2t3?2t?5 (2)

2－3 光滑水平面上有一固定的圆环，半径为R。一质量为m的小球以初速度大小v0沿着环的内壁作圆周运动。当t = 1s时，由(1)和(2)式得v?16 m/s，x?15 m．

（2）v20?1 m/s，由（1）式得

v?mv10?m?v2050?2?200?1? m/s?1.2 m/s

m?m?50?200若小球与壁的滑动摩擦系数为?，求小球任一时刻的速率。 解：设圆环内壁给小球的向心力为 Fn，则

Fv2法向：dvn?mR 切向：??Fn?mdt 2即 ??v?dv ，?vdvt?v?v0Rdtv2???0Rdt ，1??v0v0 Rt 3－4 煤粉以稳定的流量落在以水平速度v运行的传送带上，若t时刻传送带上煤粉质量为m(t)?kt，

k 为常量，为保持传送带运行速度不变，需对传送带施加多大作用力？

解 t 时刻传送带上煤粉质量为m( t ) = k t，t 至t?Δt时间内将落入传送带上的煤粉质量为Δm?kΔt，传送带上所需施加的作用力为F，沿煤粉运动方向系统的初末动量分别为 初态： p1?m(t)v 末态： p2?[m(t)?Δm]v

应用系统的动量定理，得 FΔt?p2?p1?Δmv?kvΔt

F?kv

3－7 某人以2m?s-1的速度沿水平方向将一50kg的物体扔上平板车。平板车自身质量为200kg，不计车与地面的摩擦，求下列条件下车得到的速度，（1）车原来静止；（2）车正沿物体运动方向以1m?s?1的速率运动；（3）车

正以1m?s?1的速率沿物体运动的反方向运动。

解 设车的质量为m?，初速度为v20，物体质量为m，初速度为v10，它们共同的末速度为v．对于车和物体组成的系统，水平方向合外力为零，故水平方向动量守恒，得

mv10?m?v20?(m?m?)v （1）

（1）车原来静止，v20?0，由（1）式得

（3）v20??1 m/s，由（1）式得

v?mv10?m?v20m?m??50?2?200?150?200 m/s??0.4 m/s 3－9 一人造地球卫星沿椭圆轨道运动，地球中心O为椭圆的一个焦

点。已知地球平均半径为R?6378km，卫星离地面的最近距离为

L1?439km，最远距离为L2?2384km。若卫星于近地点A1的速率

为v.10km?s?11?8，求卫星在远地点的速率

解：认为卫星仅受地球引力，且引力指向地球中心，角动量守恒

mv1(R?L1)?mv2(R?L2) v(R?L1)2?v1R?L?6.30km/s

23－11 质量为m的质点在外力作用下运动，运动方程为r??Acos?t?i?Bsin?t?j，A,B,?都为常数，求力在t1?0到t?2?2?时间内作的功。

解：dr???A?sin?tdt?i?B?cos?tdt?j

a??A?2cos?ti?B?2sin?tj

dW?F??dr??ma??dr??m?3(A2?B2)sin?tcos?tdt

?W??2?1220dW?2m?(A2?B) 3－12 一颗子弹水平击中一个悬挂着的砂袋，并留在里面，已知砂袋质量是子弹质量的1000倍，悬点到砂袋中心的距离为1 m，设子弹击中砂袋后，悬线的偏角为10?，求子弹的入射速度。

解 子弹和砂袋组成的系统，在子弹击中砂袋的瞬间，水平方向无外力作用，动量守恒．设子弹质量为m1，速度为v10，砂袋质量为m2=1000m1，子弹击中砂袋后，子弹与砂袋共同的速度为v2，得

解：

m1v10?(m1?m2)v2

子弹随砂袋一起摆动的过程中，只有重力作功，机械能守恒，取初始时砂袋位置为重力势能零点，悬线长为l，

1Ml2?0?2m?0r2 121l物体到达棒端时系统的角动量 L2?Ml2??2m?()2

122系统初始角动量 L1?砂袋上升的最大高度为l(1?cos10?)，如图 ，得

1 2(m)v21?m22?(m1?m2)gl(1?cos10?)

10? 由以上二式，得

l v?m1?m210m2gl(1?cos10?) v 1

m1

?1001?2?9.8?1?(1?cos10?) m/s?546 m/s m2

3－13 一子弹水平射入一个固定于弹簧的木块内，已知子弹的质量为20 g，木块质量是8.98 kg，弹簧的劲度系数是100N?m?1，子弹嵌入后弹簧压缩了10 cm，设木块与水平面间的滑动摩擦系数为0.2，求子弹入射速度。

分析 由于木块与水平面间存在摩擦，子弹嵌入木块后与弹簧并不构成一个通常意义的弹簧振子，机械能不守恒，但是可以应用功能原理分析摩擦力作功与机械能的变化的关系．

解 在子弹m1和木块m2碰撞的瞬间，因时间很短，木块的位置还未发生改变，因而还不受弹簧的作用，子弹和木块组成的系统水平方向无外力作用，水平方向动量守恒，设子弹质量为m1，速度为v10，木块质量为m2，子弹击中木块后，共同的速度为v2，得

m1v10?(m1?m2)v2

子弹随木块一起压缩弹簧的过程中，应用功能原理，摩擦力所作的功等于弹性系统机械能的增量，即

12kx2?12(m21?m2)v2???(m1?m2)gx 由以上二式，得

4－1 电动机带动一个转动惯量J?50kg?m2的系统作定轴转动，在0.5s内转速由0达到120r?min?1，求电动

机对转动系统作的功。 解：

W?12J(?2??21250[(120?2?60)20)???0]?3.95?103J

4－2 如图，质量为M，长为l的均匀细棒在水平面内绕通过棒中心且垂直于棒的光滑固定轴转动。棒上套有两个质量均为m，可沿棒滑动的小物体。开始时，两小物体分别被固定于棒两侧距中心r处，且棒以角速度?0转动。求两小物体到达棒端时棒的角速度是多少？

由 L 解得 ??Ml2?24mr21?L2Ml2?6ml2?0 4－3 一细杆长为l、质量为m0，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。杆原先处于平衡状态，现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，恰与杆下端完全弹性碰撞，结果使杆上摆至??600处，如图，求小球初速度。

解：小球和直杆系统角动量守恒 mv0l?mvl?13m0l2? 系统动能守恒

12mv212110?2mv?2(3m20l)?2 直杆重力矩作功 ?1o112m(1?cos60)?0?220gl2(3m0l)?

联立得 vm0?3m0?12m6gl

4－4 一长l，质量m1的均匀细棒，静止平放于光滑水平面上，它可绕过其端点O且与面垂直的光滑定轴转动。现有一质量为m2的小物块，在水平面内沿垂直于棒的方向与棒的另一端点A碰撞并弹回。若碰撞前后物块速率分别为v、u，求碰撞后棒转动的角速度。

解：碰撞前后角动量守恒 m2vl?13m1l2??m2ul 解得 ??3(v?u)m2m

1l

4－5 一水平的匀质圆盘，可绕通过盘心的铅直光滑固定轴自由转动，圆盘质量为M，半径为R，对轴的转动惯量为mR2/2，圆盘以角速度?0转动,有一质量为m的子弹沿盘的直径方向射入而嵌在盘的边缘上，子弹射入后，圆盘的角速度为多少？

解：子弹与圆盘组成的系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒，有