内容发布更新时间 : 2024/5/4 6:49:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第5讲 空间直角坐标系

1.右手直角坐标系

★知识梳理★

①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指；

②已知点的坐标P(x,y,z)作点的方法与步骤（路径法）：

沿x轴正方向（x?0时）或负方向（x?0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y?0时）或负方向（y?0时）移动|y|个单位，最后沿x轴正方向（z?0时）或负方向（z?0时）移动|z|个单位，即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法：

过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A,B,C，点A,B,C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b,c，则(a,b,c)就是点P的坐标

2、在x轴上的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，

在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c); 3、点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,?b,?c) 点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(?a,b,?c)； 点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(?a,?b,c)； 点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,?c)； 点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,?b,c)； 点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(?a,b,c)； 点P(a,b,c)关于原点的对称点(?a,?b,?c)。

4. 已知空间两点P(x1,y1,z1)Q(x2,y2,z2)，则线段PQ的中点坐标为

(x1?x2y1?y2z1?z2,,) 2225．空间两点间的距离公式

已知空间两点P(x1,y1,z1)Q(x2,y2,z2)，

则两点的距离为|PQ|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2 ， 特殊地,点A(x,y,z)到原点O的距离为|AO|?x2?y2?z2;

22225．以C(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球面方程为(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?r

特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为x?y?z?r

★重难点突破★

重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式

难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用 1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系 问题1：点P(a,b,c)到y轴的距离为

[解析]借助长方体来思考，以点O,P为长方体对角线的两个顶点，点P(a,b,c)到y轴的距离为长方体一条面对角线的长度，其值为a2?c2 2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系

问题2：对于任意实数x,y,z，求x?y?z?(x?1)?(y?2)?(z?1)的最小值

[解析]在空间直角坐标系中，x?y?z?(x?1)?(y?2)?(z?1)表示空间点2222222222222222(x,y,z)到点(0,0,0)的距离与到点(?1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(?1,2,1)之间的线段长，所以x2?y2?z2?(x?1)2?(y?2)2?(z?1)2的最小值为6。

3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线

(3)得到一些简单的空间轨迹方程

★热点考点题型探析★

考点1: 空间直角坐标系 题型1: 认识空间直角坐标系

[例1 ]（1）在空间直角坐标系中，y?a表示 （ ） A．y轴上的点 B．过y轴的平面 C．垂直于y轴的平面 D．平行于y轴的直线 （2）在空间直角坐标系中，方程y?x表示

A．在坐标平面xOy中，1，3象限的平分线 B．平行于z轴的一条直线 C．经过z轴的一个平面 D．平行于z轴的一个平面

【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程x?1表示所有横坐标为1的点的集合

[解析]（1）y?a表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合，所以y?a表示经过点(0,a,0)且垂直于y轴的平面

（2）方程y?x表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1，3象限的平分线组成的集合 【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系 (2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如： 经过点(a,0,0)且垂直于x轴的平面上的点都可表示为(a,y,z) 题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题

[例2 ] 点P(a,b,c)关于z轴的对称点为P1，点P1关于平面xOy的对称点为P2，则P2的坐标为

【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系 [解析]因点P和P1关于z轴对称, 所以点P和P1的竖坐标相同,且在平面xOy的射影关于原点对称,故点P1的坐标为(?a,?b,c),

又因点P1和P2关于平面xOy对称, 所以点P2坐标为(?a,?b,?c)

【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找