内容发布更新时间 : 2024/12/23 7:19:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题10-1 二重积分的概念与性质

1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）成；

2223(x?2)?(y?1)?2所围与，其中积分区域是圆周(x?y)d?(x?y)d?D????DD

（2）

??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，

DD2(1,1)，(2,0)；

2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）I?22sinxsinyd?，其中D?{(x,y)|0?x??,0?y??}； ??D

（2）I?2222D?{(x,y)|x?y?4}. ，其中(x?4y?9)d???D

（3）.I???Dd?x?y?2xy?16122，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}

解 Qf?x,y???x?y?2?16，积分区域的面积等于2，在D上f?x,y?的最大值

1

M?14?x?y?0?，最小值m?1132?42?5?x?1,y?2?

故0.4?I?0.5

习题10-2 二重积分的计算法

1.计算下列二重积分： （1）

??(x2?y2)d?，其中D?{(x,y)||x|?1,|y|?1}； D（2）

??sinyd?，其中D是由y?x,y2?x所围成的闭区域. Dy解：??sinyd??Dy?10dy?ysinyy2ydx?1?sin1 2.画出积分区域，并计算下列二重积分： （1）

??ex?yd?，其中D?{(x,y)||x|?y?1} D

2

（2）

22(x?y?x)d?，其中D是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。 ??D

3.化二重积分I???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次

D2积分），其中积分区域D是：

（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；

（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。 x

3

224.求由曲面z?x?2y及z?6?2x?y所围成的立体的体积。

22

5.画出积分区域，把积分

22其中积分区域D是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分，

D（1）{(x,y)|x?y?2x}；

4

（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}

6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： （1）

?23x0dx?xf(x2?y2)dy；

5