内容发布更新时间 : 2024/6/25 13:40:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第九节 函数模型及其应用

1．几类函数模型

函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) kf(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) xf(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数模型 幂函数模型 2．解函数应用问题的4步骤 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；

(3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 以上过程用框图表示如下：

[小题体验]

1．(2019·徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为________立方米．

解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，

??3x，0≤x≤10，

由题意得y＝?

?30＋5x－10，x＞10，?

??3x，0≤x≤10，

即y＝?

?5x－20，x＞10.?

易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15. 答案：15

1

2．用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m.

18－4x?9?2812解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·＝－2x＋9x＝－2?x－?＋.

2?4?89812

所以当x＝时，能围成的面积最大，为 m.

4881

答案：

8

1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数 模型．

2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． [小题纠偏]

1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．

答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)

2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知1

该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，

2将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．

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解析：各年产量为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n(n∈

22N)，令3n≤150，得1≤n≤52.又n∈N，所以1≤n≤7，故生产期限最长为7年．

答案：7

考点一 二次函数模型

重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴

*

2

*

2

2

建立直角坐标系．

(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；

(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围． 解：由题意，最高点为(2＋h,4)，h≥1. 设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]＋4. (1)当h＝1时，最高点为(3,4)， 方程为y＝a(x－3)＋4.(*) 将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1. 即所求抛物线的方程为y＝－x＋6x－5.

(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]＋4，得ah＝－1. 由题意，方程a[x－(2＋h)]＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 122

令f(x)＝a[x－(2＋h)]＋4＝－2[x－(2＋h)]＋4，

2

2

2

2

2

2

h??f则???f5＝－6＝－

1

2

hh3－h4－h2

＋4≥0，＋4≤0.

1

2

2

4

解得1≤h≤.

3

?4?故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是?1，?. ?3?

[由题悟法]

二次函数模型问题的3个注意点

(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；

(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；

(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．

[即时应用]

(2019·启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得3

少于现有员工的，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．

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(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；

(2)当140＜a≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)

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