内容发布更新时间 : 2024/5/17 8:26:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

第二部分 实验计划

实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则

1.割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率?。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以nS表示单位圆的圆内接正1 2 3??n多边形面积，则其极限为圆周率?。用下列

Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情况：

m=2;n=15;k=10;

For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正1 23??n多边形边长)

s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正1 23??n多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1]; Print[i,\ t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图

2裴波那奇数列和黄金分割

由F0?0;F1?1;Fn?Fn?1?Fn?2有著名的裴波那奇数列{Fn}。

n?1如果令R?Fn?1Fn，由F递推公式可得出

nFn11Rn???Fn?Fn?11?Fn?1/Fn1?Rn?1?1?5??，Fn?1[??5?2??n?1?1?5??]； ???2???n?1limRn?limn??n??Fn?Fn?15?1。 2用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{R}

n的收敛情况： n=14,k=10;

For[i=3,i<=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;

f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项) rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]; Print[i,\]

t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t]

?1?5??，Fn?1[???25??limRn?limn??n??n?1?1?5??]； ???2???n?1Fn?Fn?15?1。 2

3.收敛与发散的数列

数列

{?i?1i?p}n当p?1时收敛，p?1时发散；数列{sinn}发散。

4.函数极限与数列极限的关系

用Mathematica程序

m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]

观察f(x)?xsinx的图象可以发现，函数在x?0点处不连续，

?1且函数值不存在，但在x?0点处有极限。 令x?an?1/n,n?1,2,?,100，作函数的取值表，画散点图看

其子列的趋向情况

k=10;p=25; a[n_]=1/n;

tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}] ListPlot[tf]

Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction

→1]

分别取不同的数列a(要求ann?0)，重做上述过程，

并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。 对于

g(x)?sinx?1，类似地考察在x?0点处的

三 实验过程与结果

设{xn}为实数列，a 为定数，若对任给的正数b,总存在正整数N，使得当n > N 时，有|xn - a|

程序结果运行如下: