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裴波那奇数列和黄金分割

1.考察数列敛散性

改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字，观察随n增大数列的变化趋势，例如，分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

2.考察函数极限与数列极限的关系

改变函数及极限类型，例如，考虑六

kk种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

例：

用Mathematica程序

m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]

观察f(x)?xsinx的图象可以发现，函数在x?0点处不连续，且函数值不存在，但在x?0点处有极限。

令x?a?1/n,n?1,2,?,100，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况

k?1n k=10;p=25; a[n_]=1/n;

tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

ListPlot[tf]

Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列a(要求a?0)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于g(x)?sinx，类似地考察在x?0点处的极限。

nn?1四 实验结论

1.以S表示单位圆的圆内接正3?2多边形

nn?1面积，则其极限为圆周率?。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{S}的收敛情况

n2.由F?0;0F1?1;Fn?Fn?1?Fn?2有著名的裴波那奇数列

{Fn}。 令

Rn?1?Fn?1Fn，由F递推公式可得

n3.数列

{?i?1i?p}n当p?1时收敛，p?1时发散；数

列{sinn}发散。

4.分别取不同的数列a(要求a?0)，重做

nn过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。对于