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2.3 幂函数

课标要点

课标要点 1.幂函数的概念 2.幂函数的图象 3.幂函数的性质 知识导图

学考要求 a b b 高考要求 a b b 学法指导

1.能正确区分幂函数与指数函数．

2．学会以五个常见的幂函数为载体，研究一般幂函数的图象和性质． 3．会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小.

知识点一 幂函数的概念

一般地，函数y＝x叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．

知识点二 幂函数的图象与性质 函数 定义域 值域 奇偶性 α

y＝x R R 奇函数 y＝x2 R {y|y≥0} 偶函数 在(－∞，0) y＝x3 R R 奇函数 y＝x {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非 偶函数 12y＝ x{x|x≠0} {y|y≠0} 奇函数 1单调性 在R上 递增 上递减， 在(0，＋∞) 上递增 在R上 递增 在(0，＋∞) 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 幂函数在区间(0 , ＋∞)上，当α>0时，y＝x是增函数；当α<0时，y＝x是减函数．

αα

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x(x≠0)是幂函数．( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×

122

2．在函数y＝4，y＝3x，y＝x＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )

0

xA．0 B．1 C．2 D．3

1－4

解析：函数y＝4＝x为幂函数；

x2

函数y＝3x中x的系数不是1，所以它不是幂函数；

函数y＝x＋2x不是y＝x(α是常数)的形式，所以它不是幂函数； 函数y＝1与y＝x＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数． 答案：B

3．幂函数y＝f(x)经过点(2，2)，则f(9)为( ) 1

A．81 B.

3C.

1

D．3 81

11α

α

0

2

α

2

1

解析：设f(x)＝x，由题意得2＝2，∴α＝.∴f(x)＝x2，∴f(9)＝92＝3，故选

2D.

答案：D

4．已知幂函数f(x)＝(m－3m＋3)x2

m＋1

为偶函数，则m＝( )

A．1 B．2 C．1或2 D．3

解析：∵幂函数f(x)＝(m－3m＋3)x2

m＋1

为偶函数，∴m－3m＋3＝1，即m－3m＋2＝0，

2

22

解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x为奇函数，不满足条件．故选A.

答案：A

3

类型一 幂函数的概念

?1?x3252

例1 (1)下列函数：①y＝x；②y＝??；③y＝4x；④y＝x＋1；⑤y＝(x－1)；⑥y?2?

＝x；

⑦y＝a(a>1)．其中幂函数的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若函数y＝(m＋2m－2)x为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( ) A．1 B．－3 C．－1 D．3

2

xm?1?(3)已知幂函数f(x)的图象经过点?3，?，则f(4)＝________. ?9?

【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．

(2)因为函数y＝(m＋2m－2)x为幂函数且在第一象限为增函数，

??m＋2m－2＝1，所以?

?m>0，?

2

2

m

所以m＝1.

1αα

(3)设f(x)＝x，所以＝3，α＝－2，

91－2

所以f(4)＝4＝.

16

1

【答案】 (1)B (2)A (3)

16

(1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)依据幂函数的定义列方程求m .

1α

(3)先设f(x) ＝x，再将点(3 ，)代入求α .

9 方法归纳