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绝对值及其应用

隋福太

关键词：绝对值，绝对值的几何意义及其应用 知识点精讲

1.绝对值的几何定义：在数轴上表示这个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.a的绝对值表示为a.所以

?3?3，?6?6

0?0 5?5 8?8 通过上例易得

例.已知x?3?x?5?12，求x的取值范围 练习1.已知x?3?x?5?12，求x的取值范围

2.绝对值的代数定义：正数的绝对值就是它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值就是它的相反数.

3.绝对值的性质：非负性

例.x?1与y?2互为相反数，试求(a?b)2002

4.根据相反数的定义知，一对相反数分居原点两侧，并且到原点的距离相等.结合绝对值的定义知

a??a.由于

(a?b)?(b?a)?0，故a?b与b?a是一对相反数，同样会有

a?b?b?a.

例.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数，则这个数是

练习1.数轴上表示互为相反数的两点之间的距离为6，这两个数是

5.在数轴上，a，b两点之间的距离为a?b或b?a.当知道

1

两点的位置关系时，通常就去掉绝对值;当不知道两点之间位置关系时，就带上绝对值符号.由此易得

6.中点公式：以p1(p1)和p2(p2)为端点的线段的中点为

p1?p22

A C B 已知数轴上如图自左向右为A、B、C三点，它们所对的数分别为a、b、c，且都不为零，点C为AB的中点，如果a?b-

a?2c?b?2c?a?b?2c?0，试确定原点

O的大致位置

6.点P（p）到Ai(ai)(i?1,2,3?n)的距离和为

p?a1?p?a2???p?an.

n?1个点时（即正中间的那个2（1）当n为奇数时，p取第数），该距离和最小

（2）当n为偶数时，个点）时，距离和最小

p取第

n2到第n?1个点（包括这两

2例.求x?1?x?3?x?5的最小值是多少？ 练习1.x?1?2.已知y?y的最小值

7三角不等式：a?b?a?b?a?b 经典例题选讲

例1.已知(x?1?x?2)(y?2?y?1)(z?3?z?1)?36,求

x?2?x?3?x?4?x?5??x?1997的最小值

x?a?x?19?x?a?96，如果19?a?96，a?x?96求

x?2y?3z的最大值和最小值

2

解：x?1?x?2?3，当?1?x?2时等号成立；y?2?y?1?3，

当?1?y?2时等号成立；z?3?z?1?4，当?1?z?3时等号成立.由条件得

x?1?x?2?3，y?2?y?1?3，z?3?z?1?4，则当

x?2,y?2，z?3时，x?2y?3z的值最大，最大值为15.当

x??1,y??1，z??1时，x?2y?3z的值最小，最小值为-6.

例2.设x1，x21,2,3,4,5,6

x3x4x5x6是

6个不同的正整数，取值于，

记

，求S的最小

S?x1?x2?x2?x3?x3?x4?x4?x5?x5?x6?x6?x1值

解：根据绝对值的意义得，原题等价于：从数轴上点1出发，每次走一个整数点，走完点2，点3，点4点5，点6，最后回到点1，问最少走了多少距离？

取

x1?1，

x2?2x3?3x4?4x5?5x6?6则

S?x1?x2?x2?x3?x3?x4?x4?x5?x5?x6?x6?x1?1+1+1+1+1+

1+5=10

例3.将1，2，3，?，200，这200个数任意分成两组，每组100个数，将一组按由小到大的顺序排列（记为，另一组按由大到小的顺序排列（记为a1?a2???a100）

b1?b2??b100），试求a1?b1?a2?b2?a3?b3???a100?b100的值

先证明：对于代数式的任何一项ai?bi（i=1,2,?100）中的ai,bi，较大的数一定大于100，较小的数一定不大于100.

（1）若

，ai?10且0bi?100则由

a1?a2???a100?100及

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