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广州市2013届高三年级调研测试

数 学（理 科） 2013.1

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的. 1．已知i为虚数单位，则复数i(2?3i)对应的点位于

A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合A?{0,1,2,3,4}，集合B?{x|x?2n,n?A}，则A?B?

A．{0} B．{0,4} C．{2,4} D．{0,2,4} 3．已知函数f?x??logx,x?0??1??, 则f?f???的值是 ??x2??4???3,x?011 C．?9 D．? 99A．9 B．

4.设向量a?2,x?1，b?x?1,4，则“x?3”是“a//b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数y?f(x)的图象向右平移

?????单位后与函数y?sin2x的图象重合，则y?f(x)的解析式是 6??A．f?x??cos(2x?) B．f?x??cos(2x?)

36??C．f?x??cos(2x?) D．f?x??cos(2x?)

636．已知四棱锥P?ABCD的三视图如图1所示，则四棱锥P?ABCD的四个侧面中面积最大的是

A．3 B．25 C．6 D．8 7．在区间??1,5??和??2,4??分别取一个数,记为a,b, 则方程

33xy??1表示焦点在x轴上且离心率小于 22ab224正视图222侧视图3的椭圆的概率为 2第 1 页 共 18 页

2俯视图图1

A．

1511731 B． C． D． 23232328．在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若对任意x?2，不等式x?a?x?a?2 都成立，则实数a的取值范围是

D．??,?1????7,??

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

开始 ?? A．???1,7?? B．??,3??

?C．??,7?????9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，

若a3?a4?a5?12，则S7的值为

.10.若(ax-2i?1,S?0 i??1219)的展开式的常数项为84，则a的值为 . xai?icos11.若直线y?2x?m是曲线y?xlnx的切线， 则实数m的值为 .

2212.圆x?y?2x?4y?15?0上到直

S?S?aii?i?1 i?2012 是 否 输出S 线x?2y?0的距离为5的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S的值是 .

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）

如图3，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点， PC?OP，PC交⊙O于C，若AP?4，PB?2， 则PC的长是

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

结束 图2

BCAPO图3已知圆C的参数方程为??x?cos?,(?为参数), 以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极

?y?sin??2,坐标系，直线l的极坐标方程为?sin???cos??1, 则直线l截圆C所得的弦长是 .

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三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）

已知VABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a?1,b?2,B?(1) 求sinA的值；

(2) 求cos2C的值.

17.（本小题满分12分）

某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示： 中学 A C B D 人数 30 40 20 10

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问A,B,C,D四所中学各抽取多少名学生？

（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学

的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A,C两所中学的学生当中随机抽取两名学

生，用?表示抽得A中学的学生人数，求?的分布列.

18. （本小题满分14分）

如图4,已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA^面ABCD， 点M是CD的中点，点N是PB的中点,连接AM,AN,MN. (1) 求证：MN//面PAD；

（2）若MN=5,AD?3，求二面角N-AM-B的余弦值.

DABNP?3.

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M图4C

19.（本小题满分14分）

2如图5, 已知抛物线P:y?x，直线AB与抛物线P交于A,B两点，OA^OB，

yuuruuuruuurOA+OB=OC，OC与AB交于点M.

(1) 求点M的轨迹方程；

(2) 求四边形AOBC的面积的最小值.

O B 图5 20.（本小题满分14分）

AMCx 在数1和2之间插入n个实数,使得这n?2个数构成递增的等比数列,将这n?2个数 *的乘积记为An,令an?log2An,n?N.

(1)求数列An的前n项和Sn；

(2)求Tn?tana2?tana4?tana4?tana6?

21.（本小题满分14分）

若函数f(x)对任意的实数x1，x2?D，均有f(x2)?f(x1)?x2?x1，则称函数

???tana2n?tana2n?2.

f(x)是区间D上的“平缓函数”. （苏元高考吧：www.gaokao8.net）

(1) 判断g(x)?sinx和h(x)?x?x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列?xn?对所有的正整数n都有 xn?1?xn?求证： yn?1?y1?

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21，设yn?sinxn, 2(2n?1)1. 4

2013届广州市高三年级调研测试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题 1. A

分析：i(2-3i)=2i-3i=2i+3=3+2i，其对应的点为(3,2)，位于第一象限 2. D 分析：3. B 分析：f?4. A

分析：当a//b时，有2?4(x-1)(x+1)=0，解得x??3；

所以x?3?a//b，但a//b?x?3，故“x?3”是“a//b”的充分不必要条件 5. B

2A?{0,1,2,3,4}，?B?{x|x?2n,n?A}?{0,2,4,6,8}，?AB?{0,2,4}

1?1??log?log22?2??2，2?4?4??f??1?1??f????f??2??3?2?

9?4???个单位即得y?f(x)的图象， 6??????即f(x)?sin2(x?)?sin(2x?)?cos[?(2x?)]?cos(?2x?)?cos(2x?)

6323666. C P1分析：三棱锥如图所示，PM?3，S?PDC??4?5?25 ，

235113 S?PBC?S?PAD??2?3?3，S?PAB??4?3?6

22CN2D2分析：逆推法，将y?sin2x的图象向左平移7. B

22x2y23分析：方程2+2=1表示焦点在x轴且离心率小于的椭圆时，有2ab?a2?b2??ca2?b23 ，

??e??aa2?AMB?a2?b2?a?b即?2，化简得?，又a?[1,5]，b?[2,4]， 2a?2ba?4b??画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，

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