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高中数学选修1-2知识点总结

第一章 统计案例

1．线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：y?bx?a（最小二乘法）

n?xiyi?nxy??i?1??b?n2 其中，?2x?nx?i?i?1???a?y?bx?注意：线性回归直线经过定点(x,y).

2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：r??(xi?1ni?x)(yi?y)n

?(xi?1ni?x)2?(yi?y)2i?1注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r <0时，变量x,y负相关；

⑵①|r| 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r| 接近于0时，两个变量之间几

乎不存在线性相关关系。

1．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x/万元 销售额y/万元 4 49 2 26 3 39 5 54 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )．

A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

－4＋2＋3＋57－49＋26＋39＋54

解析 ∵x＝＝，y＝＝42，

4247^^^－－^^

又y＝bx＋a必过(x，y)，∴42＝×9.4＋a，∴a＝9.1.

2^

∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.

^

∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B

2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：

1

父亲身高x/cm 儿子身高y/cm 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177 则y对x的线性回归方程为 ( )． ^^

A.y＝x－1 B.y＝x＋1 1^^

C.y＝88＋x D.y＝176

2－174＋176＋176＋176＋178

解析 因为x＝＝176，

5－175＋175＋176＋177＋177y＝＝176，

5

－－

又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(x，y)， 所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C. 答案 C

3．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)是变量x和y的n个

样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )． A．x和y的相关系数为直线l的斜率 B．x和y的相关系数在0到1之间

C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 －－D．直线l过点(x，y)

解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n 为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D正确，所以选D. 答案 D

4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x 命中率y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6

2

小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 －0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4y＝＝0.5，

5

－^^

可求得小李这5天的平均打篮球时间x＝3.根据表中数据可求得b＝0.01，a＝ ^

0.47，故回归直线方程为y＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.53

5．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方^

程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．

解析 由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 答案 0.254

6．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份 需求量(万吨) 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286 ^^^(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：

年份－2006 需求量－257 －4 －21 －2 －11 0 0 2 19 4 29 －－对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2.

^?－4?×?－21?＋?－2?×?－11?＋2×19＋4×29－5×0×3.2b＝

?－4?2＋?－2?2＋22＋42－5×02＝

260^－－＝6.5，a＝y－bx＝3. 40

由上述计算结果，知所求回归直线方程为 ^^^

y－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2，

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