合工大2012矩阵理论试卷 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 23:32:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

atatatat1.设线性空间V为由基函数x1?ecosbt,x2?esinbt,x3?tecosbt,x4?tesinbt

生成的实数域上的线性空间,令y1?ecosb(t?1),y2?esinb(t?1),y3?tecosb(t?1),y4?tesinb(t?1) (1)分别求向量y1,y2,y3,y4在基函数x1,x2,x3,x4下的坐标;

(2)证明:y1,y2,y3,y4也为V的一组基;(3)求y1,y2,y3,y4到x1,x2,x3,x4的过渡矩阵。 2.设线性空间R2?2atatatat?01?2?22?2中的矩阵B???,定义R中的一个变换T为T(X)?XB,X?R。

?40??10??01??00??00?,,,E?E?E????????下的矩阵; 122122?00??00??10??01?(1)证明:T是线性变换; (2)求T在基E11??(3)求R2?2的一组基,使T在这组基下的矩阵为对角阵。

3.设e1,e2,e3,e4,e5是R5中的一组标准正交基,V?Span??1,?2,?3?,其中?1?e1?e3?e5,?2?e1?e2?e4,

?3?e1?3e2?2e3?3e4?2e5,求V?的一组标准正交基。

4.设T为欧氏空间R中的线性变换,对(x,y,z)?R,令

3

3T(x,y,z)?(xcos?cos??ysin??zsin?cos?,xcos?sin??ycos??zsin?sin?,xsin??zcos?)

(1)求线性变换T在基?1?(10(2)证明:T为正交变换。

0)T,?2?(010)T,?3?(001)T下的矩阵;

?102???5.设A=?0-11?

?010????12(1)设f(x)?2x?3x?x?x?4,求f(A);(2)求参数a,b,使A?aA?bE。

8542?31-1???6.设A??12-1?

?210???(1)求A的不变因子、初等因子和最小多项式;(2)求A的约当标准形;(3)求e。

At1??1-??105?7.设A???,试讨论幂级数?(?1)kk2Ak的敛散性。

k?1?41????510?8.设Aa是C矩阵范数。

n?n上相容的矩阵范数,D是n阶可逆矩阵,证明对任意A?Cn?nn?n,Ab?DAD是C上相容的

-1a 矩阵理论试卷(A)(2008级) (共1页) 成绩

学院班级__ _; 姓名___ __; 学号_ __ __

1 (15分)给定 R2?2?{A?(aij)2?2|aij?R}(数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间)

ai j)的子集 V?{A?(2?(1)证明V是R2?22a|1?1a?a,? R220i j}

?32?的子空间;(2)求V的维数和一组基;(3)求A???在所求基下的坐标。

5?3??2 (15分)设?为n维欧氏空间V中的单位向量,对V中任意一向量x, 定义线性变换T: T(x)?x?2(?,x)?, (1)证明:T为正交变换; (2)证明 T对应特征值1有n-1 个线性无关的特征向量;(3)问T能否在某组

基下的矩阵为对角阵,说明理由。

?010???3 (15分)设矩阵A???120?

??110???(1)求A的若当标准形;(2)求A的最小多项式;(3)计算g(A)?A?4A?5A?E。 4(10分)设R中的线性变换T如下:T(x1,x2,x3)?(2x1?x2,x2?x3,x2?x3) ; (xi?R)

TTT3(1) 写出T在基 ?1=(1, 1, 0),?2=(0, 1, 1), ?3=(0, 0, 1)下的矩阵;(2) 求T(R)及Ker(T)。

5323

5 (10分)已知多项式矩阵

0???1?2??7(??2)A(?)???00?0?0400(??1)20??0?,求A(?)的初等因子及史密斯标准形。

?0?(??1)(??5)?0TT6(10分)在欧氏空间R中, 对任意两个向量??(a1,a2,a3,a4) , ??(b1,b2,b3,b4),定义内积

?)a1b1? (?,?2a2b?2a3?b3a 4b?2x1?x2?x3?x4?0求齐次方程组? 的解空间的一组标准正交基。

x?x?x = 0?1237 (10分)(1) 设A为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有||A?1||?||A||?1。

8?6i11???4??6?3?, 利用(1)的结论分别估计||A?1||1和||A?1||?的下界。 (2)设A??3?12?5i12????200???At8(15分)已知A?111, 求矩阵函数f(A)?e。

???1?13???

1.给定线性空间R3的两组基:

?1?(1,0,1),?2?(2,1,0),?3?(1,1,1),

?1?(1,2,-1),?2?(2,2,-1),?3?(2,-1,-1).试求从基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。 2.设线性空间R2?2?A?(xij)2?2xij?R(数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间)的子

?集V?A?(xij)2?2x11?x22?0,xij???R?

(1)给定V的变换T(X)?X?X(?X?V),验证T是V上的线性变换; (2)求V的一组基及T在该基下的矩阵; (3)求T的全体特征值和特征向量。

3.设V为n维欧氏空间,?为V中一个固定的非零向量,证明: (1)V1?x(x,?)?0,x?V是V的一个子空间; (2)V1的维数为n?1。 4.在R?x?3中定义内积(f,g)?2T???1?1f(x)g(x)dx,

(1)求对基1,x,x正交单位化所得R?x?3的一组标准正交基; (2)求f(x)?x?1在上述标准正交基下的坐标。

2?202???5.设A??-131?

?1-13???(1)证明:在任意的数域F上,A都不可能相似于一个对角阵; (2)设f(x)?x?10x?36x?56x?32,计算f(A)。 6.设A?Cn?n432,AM为满足相容性条件的矩阵范数,AT为从属于某向量范数x的算子范数,E为n阶单位矩阵。

M求证:(1)E(2)ET?1。 ?1;

??200???n7.设A??021?,S?xx?1,x?C,求:

2?012?????(1)矩阵A的算子范数A1和A?的值;(2)Ax2在S上的最大值。

??110???8.已知A???430?,

?102????1(1)求A的约当标准形J及相似变换矩阵P使得PAP?J;(2)求矩阵函数f(A)?e。

A